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24.07.18 EDD-basierte quanten-taktisch/trigonometrische Darstellung der Wienschen Verschiebungs-Konstante

Nach dem Verschiebungs-Gesetz von Wien gilt für die Wellenlänge des Maximums der Planckschen Strahlungsformel 

λmax = b/T = 2897,7729 *10^-6 m*K/T (1)

mit b =2897,7729 *10^-6 m*K (CODATA) als der Wienschen Verschiebungs-Konstante. Selbige erhält man per Ableitung der Planckschen Strahlungsformel (s. Wikipedia) gem.

b = hc/(kB*x) (A)

mit

x/(1-e^-x) -5 = 0 (B)

x = 4,9651142317443. (C)

Vorteilhafter Ausgangs-Punkt der quanten-taktisch/trigonometrische Darstellung von b ist die Formulierung

b = (2+0,8977729)*10^-3 m *K. (2)

Danach gibt sich das gebrochene additive Glied gem.

0,8977729 = 1/1,113867437968 = 1/ri1´ (3)

unmittelbar zu erkennen als Kehrwert eines real-variierten Inkugel-Radius des EDD

ri1´ = 1,113867437968 = sin54´*tan54´ (4)

54´ = 54,006383405579 = 54 +0,02/Pii7´ (5)

Pii7´= 180/7*sin(7-0,001*(2-cos137´), (6)

womit sich schließlich EDD-basiert die quanten-taktisch/trigonometrische Darstellung

b = (2+1/ri1´ )/1000 m*K = (2 + 1/(sin54´*tan54´))/1000*m*K (7)

 ergibt.

22.09.18 Wiensche Verschiebungs-Konstante per quanten-taktisch/trigonometrischer EB-G

Ausgehend von (3) erhält man

0,8977729 = 1/1,113867437968 = 1/ri1´ (3)

0,8977729 = 1/(sin54,006383405579*cos54,006383405579). (8)

Weiter gilt

54,006383405579 = 54/cos 0,880938478253138, (9)

womit sich in Verbindung mit (8)

0,8977729 = 1/(sin(54/cos0,880938478253138)*cos(54/cos0,880938478253138)) (10)

ergibt. Daraus folgt schließlich die quanten-taktisch/trigonometrische EB-G

x = 1/(sin(54/cosx´)*tan(54/cosx´)) (11)

mit der Feinapproximation

x´/x = cos(10+1/x). (12)

Betrachtet man nun das der EB-G zugrundeliegende Quadrat/Dreieck mit der Diagonale/Hypotenuse d=c = 2^0,5*0,8977729 = 1,269642611111024424, so führt dies zu

1,269642611111024424 = 2- log (2*2,687369557828438615) (13 a)

1,269642611111024424 = (2-log (2*(44/43)^43)))*cos 0,174586233484695097 (13 b)

1,269642611111024424 = (2-log (2*(44/43)^43)))*cos(Pie1,5´/18)(13 b)

Pie1,5/18 = 3,142552202724511746/18 =20/3*tan1,5´, (14)

womit man gem.

(2-log (2*(44/43)^43)))*cos(20/3*tan1,5) = 0,8977729 (15)

erhält.

 

21.09.18 Plancksche Strahlungsformel: Maximumsfrequenz per EB-G

Für die Maximumsfrequenz gilt per Ableitung der Planckschen Strahlungsformel mit

x = h νmax /kBT . (1)

die Gleichung

(3-x)*e^x = 3  (2)

Damit erhält man

νmax = 0,5878925757645*10^11*T *(s*K)^-1 = νmax“*10^11*T *(s*K)^-1. (3)

Die quanten-taktisch/trigonometrische Formulierung des VF

νmax“ = 0,5878925757645 = sin36,00760117329238055 (4)

führt mit der Gleichung

36+0,01*sin(49,47454246667354) = 36/cos(1/0,8493985347498074) (5)

zu der EB-G

36+0,01*sinx -36/cos(1/(0,8+x´/1000)) (6)

x´ = x-0,1*sinx. (7)

3.10.18 EB-G der Strahlungsleistung eines Schwarzen Körpers bei Normtemperatur

Für die Strahlungsleistung eines 3-dimensionalen Strahlers gilt allgemein

P = ԑ(T) *σ *A*T^4, (1)

wo ԑ den Emissionsgrad, σ die Stefan/Boltzmann-Konstante, A die Fläche des Strahlers und T die absolute Temperatur bezeichnen. Für ideale Schwarze Strahler mit einem Absorptions- und Emissionsgrad = 1 geht (1) über in

P = σ*A*T^4. (2)

Der Wert der Stefan/Boltzmann-Konstante beträgt aktuell gem.

σ = 2Pi^5/15*kB^4/(h^3*c^2) = (3 a)

σ =40,8026246380375273*3,63356664923/(290,91632204452463*8,9875517873681764)* 10^(86-92) (3 b)

σ = 5,670374419*10^-8 (J/(s m^2 K^4) =W/(m^2 K^4)) (3 c)

und experimentell ermittelt

σ = (5,670367+- 0,000 013) 10^-8 W/(m^2 K^4). (3 b)

Nachfolgend werde ich nun ein übriges Mal zeigen, dass ganz offenbar tiefer liegende Zusammenhänge zwischen den relevanten physikalischen Größen existieren müssen.

Dazu wird die Stefan/Boltzmann-Konstante gem.

σ = 0,5670374419*10^-7 J/(s m^2 K^4) (4 a)

σ = σ” *10^-7 J/(s m^2 K^4) (4 b)

zunext quanten-taktisch /trigonometrisch formuliert. Die weitere Betrachtung beschränkt sich danach auf den Vorfaktor σ” = 0,5670374419. Der Vorfaktor der Strahlungs-Leistung ist damit bei Normtemperatur T= 273,15 K gegeben durch

P“ = σ“ *T0“^4 = 0,5670374419*2,7315^4 (5 a)

P” = 0,5670374419*5 5,6678975630100625 = 31,565782230080469904. (5 b)

Das führt unmittelbar zu der EB-G

x*(50+10*x´) = 31+x“ (6 a)

x*(50+10´*x) = 31+1“*x, (6 b)

die per Umstellung übergeht in die quadratische Gleichung

x^2 +(50-1“)/10´ *x-31/10´= 0, (7)

die bereits für 10´=10 und 1” =1

x0 = σ ” = 0,5670349683 (8)

liefert. Mit den Feinapproximationen

10´= 10*cos(1+ln2) (9)

und

1“ =1-1/452 (10)

ergibt sich der der theoretische Wert gem. (3).

Mit

T0“ = (31/ σ“+1´)^0,25 (11)

und

T0“ = (50+10´* σ“ )^0,25 (12)

ist auch der VF der Normtemperatur mit σ“ festgelegt.

Zugleich kann auch der VZ der Strahlungsleistung bei Normtemperatur gem.

P“ = Pi´^3 + σ “ (13)

Pi´ =Pii1´= Pi/(1,00008+10^-6*cos10´) (14)

Pi-basiert per σ“ dargestellt werden.

4.10.18 Urgründige 4/Pi´-Darstellung der Strahlungskonstante 3-dimensionaler Schwarzer Strahler

Die vorangegangenen Betrachtungen legen einen tieferen Zusammenhang der mit der Strahlungsleistung verknüpften Naturkonstanten nahe. Die sog. Strahlungskonstante

a3 = 8Pi^5/15*kB^4 /(c*h)^3 (1 a)

des 3-dimensionalen Schwarzen Strahlers enthält den Term

kB^4 = 1,3806494^4*10^-92 J K^-1 = 3,633566649232228 *10^-92 J^4 K^-4 (2 a)

kB^4  = (kB“)^4 *10^-92 J^4 K^-4 (2 b)

im Zähler und den Term

(c*h)^3 =(2,99792458*6,62607015)^3 * 10^-78 (m s-1 J s )^3 = 0,7838450084421221686*10^-74*J^3 m^3 (3 a)

(c*h)^3  = (c”*h”)^3 /10^4*10^-74*J^3 m^3 (3 b)

im Nenner. Die VF beider Terme können in der Tat gem.

(c”*h”)^3 /10^4 = 0,7838450084421221686 = 1/(1+0,27576241378060438574) (4 a)

(c”*h”)^3 /10^4 = 1/(1+x) = Pi´/4 (4 b)

und

(kB“)^ 4 = 3,633566649232228 = 1/0,27521168497385339713

(kB“)^ 4  = 1/x´ = 1/(4/Pi´-1) (5)

x/x´ = 0,27576241378060438574/0,27521168497385339713 (6 a)

x/x´ = 1,00200110982498185291 = 1,0020011+(1-1/57´)/10^-8 = 1´(6 b)

feinapproximativ auf einen urgründigen Modell-Parameter zurückgeführt werden. Selbiger erschließt sich gem.

1,27576241378060438574 = 4/3,13538003376848867445 = 4/Pii6´ (6 )

Pii6´= 30*cos 84,0009099983851641 = 30*cos(84,0009+cos(1´/105) (7)

UQ/UK = 4*d/(Pi´*d) = 4/Pi´ (8)

AQ/AK = d^2 /(Pi´*d^2/4) = 4/Pi´ (9)

als Verhältnis von Quadrat- zu Inkreis-Umfang sowie Quadrat- zu Inkreis-Fläche mit real-variiertem

Pii6´. Die Strahlungskonstante ergibt sich danach schlussendlich urgründig zu

a3 = 8π^5/15*kB^4 /(c*h)^3 = 8π^5/15*1´*(1/x+1)*10^(74-92)  (1 b)

a3 = 8π^5/15*kB^4 /(c*h)^3 = 8π^5/15*1´*4/(4-Pi´)*10^-18 J m^-3 K^-4 (1 c)

a3 = 7,56573325028*10^-16 J m^-3 K^-4. (1 d)

Die Stefan/Boltzmann-Konstante erhält man damit gem.

σ = a3 *c/4 = 7,56573325028*2,99792458/4*10^(8-16) W m^-2 K^-4 (10 a)

σ = 5,67037441918*10^-8 W m^-2 K^-4. (10 b)

4.11.18

Die Darstellung des VF der Strahlungskonstante als Produkt von 3 Faktoren gem.

a3“  = (8π/c“^3) *(kB“^4/(15*ha“^3)) *π^4 (11 a)

führt zu

a3“ = tan43,008205*1/(15*0,8´)*π^4 (11 b)

a3“ = tan43,008205* π^4 /(12´) (11 c)

und

a3“ = 2*1´*tan43,008205* π^4/24 = 2*1´ *tan43,008205* V8D   (12)

mit

0,8´= 12´/15 = 0,8006357117627 = 0,80+0,002/3,14607990186 = 0,80+0,002/Pie4´ (13)

Pie4´= 3,14607990186 = 45*tan86,0008´ (14)

1´= 12/12,0095356764405 = 12/(15*0,8´). (15)

 

13.11.18 Pi-basierte urgründige Darstellung der Stefan/Boltzmann-Konstante

Die Stefan/Boltzmann-Konstante ist   gegeben durch

σ = 2Pi^5*kB^4/(15h^3*c^2) = 0,567037441918*10^-9 Wm^-2*k^-4. (1)

Aus quanten-taktisch/trigonometrischer Sicht sollte, wie zuvor bereits dargelegt,    eine auf urgründigen Konstanten beruhende  Modell- Darstellung existieren. Dem wird nachfolgend nachgegangen.  Da die Ganzzahl-Exponenten der in (1) auftretenden sogenannten Natur-Konstanten bereits durchgängig auf urgründige Modell-Konstanten  zurückgeführt wurden, beschränkt sich die Betrachtung  auf den Vorfaktor. Ausgangspunkt ist  dabei der  vortrefflich einfache Ansatz

0,567037441918 = 12,567037441918-12 (2 a)

0,567037441918 = 4*3,1417593604795-12 (2 b)

0,567037441918 = 4*Pie1´-12 (2 c)

mit

Pie1´ = 3,1417593604795 = 180*cot( 89,0000484722948) (3 a)

Pie1´ = 3,1417593604795 = 180*cot( 89/cos0,06´) (3 b)

und der VEDD-basierten  Feinapproximation

0,06´ = 0,06/(1+(8-VEDD´)/100) (4 a)

0,06´=  0,06/(1+(8-5*cos36´/(tan36´)^2)/100)), (4 b)

der  den VF der Stefan/Boltzmann-Konstante urgründig  feinapproximativ auf ein externes Pie1´ bzw. auf eine dadurch gegebene Einheitskugel-Oberfläche zurückführt.

5.10.18 Verknüpfung der VF von Normtemperatur, Schwarzkörper-Strahlungskonstante und EDD-Oberfläche

Zuvor wurde die Gleichung

(7+sin34)*T0“ = AEDD´ =15*tan54´ (1)

aufgezeigt, die den VF der Normtemperatur T0“ =2,7315 mit der EDD-Oberfläche verknüpft. Der Proportionalitäts-Faktor (7+sin34) = 7,5591929034707 kommt

7 + σ“ = a3“ = (7 + 0,567037442), (2)

d.h. dem VF der Strahlungskonstante 3-dimensionaler Schwarzer Strahler a3“, sehr nahe. Das Produkt

 2,7315*(7 + 0,567037442) = 20,669362772823 = 15*tan 54,031165925884 (3 a)

T0“*(7+ σ“) = T0“ *a3“ = AEDD´ = 15*tan54´ (3 b)

erweist sich dabei als geringfügig real-variierte EDD-Oberfläche. Danach stellt sich der VF der Normtemperatur gem.

T0“ = AEDD´/(7+ σ“) = AEDD´/a3“ (4)

als Verhältnis EDD-Oberfläche/Strahlungskonstante dar. Die real-variierte EDD-Oberfläche erschließt sich wie folgt wiederum per EB-G. Es gilt gem. (3 a)

15 *tan 54,031165925884 = 15*tan54 +1/(42+0,31198481) (5 a)

15*tan(54+x/10)=15*tan54+1/(42+x´), (5 b)

womit man mit x= x´

T0“ *a3“ =20,669362980848 (6)

erhält. Mit a3“ = 7,567037442 ergibt sich damit

T0“ = 2,731500027. (7)

Danach sind die Vorfaktoren der Normtemperatur und der Strahlungskonstante 3-dimensionaler Schwarz-Körper ganz offenbar mit der EDD-Oberfläche verknüpft.

5.10.18 Eruierung von  ha“/(kB“ *T0“) per EB-G und Zusammenhang mit den VF der Strahlungskonstante a3“ und der Stefan/Boltzmann-Konstante σ

Die Plancksche Strahlungsformel enthält im Nenner die Exponentialfunktion e^(hν/kB*T), deren Exponent den Quotient h/(kB*T) enthält. Wie zuvor dargelegt, besteht zwischen den Größen der Strahlungsformel ein tieferer Zusammenhang. Das zeigt sich in der Tat auch am Beispiel von

h/(kB*T) = ha“/(kB“ *T“) *10^-13 s (1)

für Normbedingungen gem.

ha“/(kB“ *T0“) = 6,62607015/(1,380649*2,7315) =1,7569991116113 =1/0,569152251353687 (2 a)

ha“/(kB“ *T0“) = 1+a3“/10´ = 1´/σ“, (2 b)

wonach selbiger Quotient wiederum in enger Beziehung zu den Vorfaktoren der Strahlungskonstante a3“ und der Stefan/Boltzmann-Konstante σ“ steht. Überdies folgt aus  (2 a)

die EB-G 

1,7+x´/10 =1/x   (3)

x´ = x+0,001*sin57´ (4)

57´ = 57,02 +0,001/ln10´, (5)

die per Umstellung übergeht in die quadratische Gleichung

x^2+(17-0,001*sin(57´))*x - (10+0,017*sin(57´)= 0. (5)

Die Feinapproximation

(17-0,001*sin(57´)) = 8,499580567620428 (6 a)

(17-0,001*sin(57´) = 8,5*cos 0,56919480862127 = 34/4*cos (σ“)´ (6 b)

steht wiederum in enger Beziehung zum VF der Stefan/Boltzmann-Konstante  σ und zur Oberfläche 34 der postulierten Exponentialkugel. Die Feinkorrektur erfolgt dabei über den ganzzahligen  Einheitsbogen-Winkel 57, womit zugleich auch der Koeffizient 10+0,017*sin(57´) bestimmt ist.

6.10.18 Plancks Strahlungsformel aus quanten-taktisch/trigonometrischer Sicht

Plancks Strahlungsformel

U(f,T) df = g(f) df*Em(f,T)  = 8Pi f^2/c^3 *hf/(e^(h f/kB T)-1) df (1)

die die Energiedichte eines SchwarzKörper/Hohlraum-Strahlers im Frequenzintervall zwischen f und f+df  beschreibt, setzt sich aus den Faktoren Zustandsdichte pro Volumeneinheit

g(f) df = 8Pi f^2 /c^3 df (2)

und der von Planck eingeführten mittleren Schwingungsenergie

Em = hf/(e^(h f/kB T)-1)  (3)

zusammen. Nachfolgend wird die Natur der Zustandsdichte aus quanten-taktisch/trigonometrischer Sicht etwas tiefergehend ausgeleuchtet. Dazu wird diese zunext auf die Planckskala bezogen formuliert

V g(f)df = D(f) df = 8Pi f^2/c^3 V df (4 a)

V g(f) df  = (2*4Pi* tp) (V/rp^3) (f/fp)^2 df, (4 b)

wodurch ein in der Planckzeit/Frequenz ausstrahlender Planck-Körper als Referenz erscheint. Die quanten-taktisch/trigonometrische  Betrachtung des Zahlenwerts des konstanten VF der Zustandsdichte

g(f)“ = 8Pi/ca"^3 (5 a)

g(f)“  = 25,13274122871834591/26,94400241737398954 = 0,93277683246169436875 (5 b)

g(f)“ = tan43,008020500183      (5 c)

offenbart unmittelbar einen vorzüglich einfachen Bezug zum hier definierten grundwinkel-basierten planckzeitlichen Netzwerk/Raster. Danach kann die Zustandsdichte in der Tat auf ein GoldenWinkel/43´;47´;90 -Elementardreieck zurückgeführt werden. Dies erfährt eine weitere Unterstützung gem.

g(f)“ * ha“= 8Pi/c^3 *ha“   (6 a)

g(f)“ * ha“=  0,93277683246169436875*6,62607015 (6 b)

g(f)“ * ha“=  10*0,61806447261859841 = 10*(2*sin54,00148577068194-1) (6 c)

bei Hinzunahme  des VF von h aus dem Energiefaktor. Danach  stellt sich g(f)“ * ha“ dar als 10-facher  Teil des Ergänzungsstücks 0,618… zum GoldenSchnitt 1,618… .   

31.10.18 Die gem.

D(f) df = 4*2Pi (f/fp)^2*(V/rp^3)* df/fp (4 c)

auf einen fiktiven Planckstrahler bezogene Anzahl der Zustände Im Frequenzintervall von f bis f+df ist  in der Tat per Division durch das 6-dimensionale  Planckstrahler-Ereignisvolumen

V6d = rp^3*fp^3 = c^3  (E)

eine  dimensionslose Zahl.

7.10.18 Mit

λ = c/f (7)

und

dλ = c/λ^2 (8)

geht (1) über in die λ-Darstellung

U(f,T) dλ = 8Pi hc^2/ λ^5 *1/(e^( λ h c/kBT)-1) dλ. (9)

Die Ableitung liefert dann  für die Wellenlänge des Maximums

λmax  = hc/(x kBT). (10)

mit

x/(1-e^-x) - 5 = 0 (11)

x = 4,965114231744. (12)

9.10.18

Die Bestimmung des real-variierten Grundwinkels 54´ gelingt mit

x = 0,148577068194 -sin 8,544474580558 = sin(e*Pie2`) (13 a)

x = 0,148577068194 -sin( e*3,1433365337992711) (13 b)

Pie2´= 3,1433365337992711 = 90*tan2,00029711701940923 (14)

wiederum per EB-G

x = sin(90*tan(2+0,002*x) (14)

x0 = 0,148577070933. (15)

10.10.18 

Die mit dem Volumen multiplizierte und auf die Planckeinheiten lp;rp und fp bezogene Energiedichte stellt sich gem.

V*U(f,T) df =(2*4Pi*(V/lp^3)*(f/fp)^3*h*df/(e^(hf/kBT)-1) (16)

vorzüglich anschaulich als auf einen fiktiven Planckkörper-Strahler bezogen dar.

Setzt man x:= hf/kBT und integriert 

(kBT/h)^4 * x^3/(e^x-1) dx (17)

über alle Frequenzen von 0 bis unendlich, so erhält man

(kBT/h)^4*Pi^4/15. (18)

Damit ist die Strahlungsleistung  gegeben durch

 P = (2*4Pi*h/c^3)*(kB/h)^4*Pi^4/15*T^4 (19 a)

 P = a3*T^4 = 4σ/c *T^4, (19 b)

wo

a3 = (2*4Pi*h/c^3)*(kB/h)^4*Pi^4/15 (20 a)

a3 = 0,6180644726185984*18,84989836787925*6,493939402266829*10^-(57-40) (20 b)

a3 = 7,56573325028*10^-16  J m^-3 K^-4 (20 c)

die herkömmliche Strahlungskonstante und σ die Stefan/Boltzmann-Konstante des 3-dimensionalen Hohl/Schwarz-Körpers bezeichnen. Eine vorzüglich einfache quanten-taktisch/trigonometrische Darstellung von a3 gelingt wie folgt per Grundwinkel/Pi-Basierung

a3 =(2*sin54´-1)*10^-57*10^(40+4/Pi´)*Pi^4/15 (21 a)

a3 =(2*sin54´-1)*10^(4/Pi´)*Pi^4/15*10^-17. (21 b)

Pi´= 3,1364947313 = 180/5,6549099064*sin 5,6549099064 (22)

Danach sind die Schwingungs-Moden, die die Strahlungsleistung bestimmen, offensichtlich durch das grundwinkel-bestimmte Raumzeit-Netzwerk exzellent einfach festgelegt. Eine Feinapproximation des real-variierten Grundwinkels 54´des GoldenSchnitts wurde zuvor bereits angegeben. Der Winkel in (22) kann gem.

5,6549099064 = 1,8*3,14161661467 = 1,8*Pi/ cos(sin13´) (23)

Pi-basiert vortrefflich einfach feinapproximiert werden. Damit erhält man

Pi´=100/(Pi/cos(sin13))*sin (1,8*Pi/cos(sin13)). (24)

11.10.18 (kB/h)^4 : Fiktive Interpretation und EB-G

Der mittlere Faktor in (20)

(kB/h)^4 = (1,380649/6,62607015)^4 *(10^11)^4 (26 a)

(kB/h)^4 = 0,2083661912333^4*10^44 (26 b)

(kB/h)^4 =10^(40+4/Pi´) (K*s)^-4 = (10^(10+1/Pi´))^4 (K*s)^-4 (26 c)

geht bzgl. seiner Exponenten gem.

kB/h = R/(NA*h)  = R/(NA“*ha“)*10^34/10^23 = 10^11 (27)

kann hauptsächlich auf die Teilchenzahl NA und die potenzierte 34er-Oberfläche der postulierten Exponentialkugel zurückgeführt werden. Selbiger kann danach fiktiv im Wesentlichen als eine Art potenziertes Oberflächen-Element pro Teilchen und K*s aufgefasst werden. Die Bestimmung des Vorfaktors

kB“/ha“ = R/(NA“*ha“) = 0,2083661912333 (28 a)

kB“/ha“ = 10^-0,6811727467543 = 10^-sin42,93535372065 = 10^-43´ (28 b)

gelingt wie folgt ausgehend von der Gleichung

(kB/h)^4 = 10^(44-4*0,6811727467543) = 10^(40+4/Pi´) (26 d)

(kB/h)^4 = 10^(44-2,7246909870172) = 10^(41+0,2753090129828). (26 e)

Diese führt schließlich zu der faszinierend einfachen EB-G

44-10*x´ = 41 + x (27)

und damit zu

x = (3+10*(x-x´))/11 (28)

mit der Feinapproximation

x-x´= 0,00283991428108 = 0,034/(12-1/36´). (29)

11.10.18 Beziehung Wellenlänge der maximalen Strahlungsintensität und dem 4-dimensionalen Planck-Ereignisvolumen V4DPL. 

Die auf einen fiktiven Planckkörper-Strahler bezogene Zustandsdichte gem. (4 b) enthält das Plank-Volumen (lp;rp)^3. Das legt die Vermutung nahe, dass dieses weitere Faktoren der Energiedichte/Strahlungsintensität bestimmt. In der Tat kommt der gem.

λmax = hc/( xmax kBT) = 2,897,8 μm K/T (30) (s. Wikipedia : Wiensches Verschiebungsgesetz)

die Wellenlänge des Maximums der Strahlungsintensität bestimmende Faktor

xmax = 4,9651142317444 (12)

dem früher definierten 5-dimensionalen Planck-Ereignisvolumen (berechnet mit hierigen 137´-Modellwerten)

V5DPL = mP“*rp“^3*tpb“ = 2,1759689606*1,6166006985^3*0,5392399493 ()

V5DPL = 4,957275341408 (31)

sehr nahe. Danach bestimmt das Planck-Ereignisvolumen V5DPL offenbar das Wellenlängen-Maximum der Strahlungsintensität. Die Differenz

xmax - V5DPL = 4,9651142317444 -4,957275341408 (32 a)

xmax - V5DPL = 0,0078388903364 = 0,01*sin(50+1,6180429467734) (32 b)

xmax - V5DPL = 0,01*sin(50+2*sin54´) (32 c)

54´ = 54,0004366047195 = 54+0,001/ln10´ (33)

stimmt wiederum in der Ziffernfolge annähernd überein mit dem ebenfalls in die Energiedichte eingehenden Faktor

(ca”*ha”)^3= 7838,4508442. (34)

Die bei

fmax  = 0,58789*10^11 Hz K^-1 *T (35)

liegende Frequenz des Intensität-Maximums  erweist sich gem.

f“max  = 0,58789 = sin36,00741873647  (36)

wiederum als  grundwinkel-bestimmt.

12.10.18

Die Ableitung der Frequenz-Darstellung führt mit x:=hf/kT zu der Gleichung

xmax = 3*(1-e^- xmax)  (37)

mit der Lösung

xmax = 2,8214393721220788934031913302945. (38)

Für die Frequenz des Intensitäts-Maximums folgt damit

fmax = xmax*k/h*T = 2,821439372122*1,380649/6,62607015 *10^11 Hz K^-1*T (39 a)

fmax = 0,58789257576 *10^11 Hz K^-1*T. (39 b)

Der grundwinkel-basierte Vorfaktor der Maximums-Frequenz

0,58789257576 = sin36,007601173 (40)

kann gem.

0,5878925757646824946606=sin(36,00760+(2*0,0586654151552)/10^5) (41 a)

x=sin(36,0076+(2*x/10)/10^5) (41 b)

wiederum per EB-G bestimmt werden.

12.10.18 Maximale Photonenrate (s. Physik.cosmos-indirekt.de/Physik-Schule/Wiensches_Verschiebungsgesetz)

Frequenz-Darstellung der spektralen spezifischen Ausstrahlung (Abstrahlungsrate der Photonen)

M(f,T) = (2Pi/c^2)*x^2/(e^x-1) (42)

x:= hf/kBT (43)

Ableitung->

2*(1-e^-x) -x =0 (44)

xmax = 1,5936242600 (45)

fmax= xmax *kB/h*T = 3,320578*10^10 Hz K^-1 *T (46)

Die spektrale Photonenrate des Maximums ist proportional zu T^2.

 Wellenlängen –Darstellung der spektralen spezifischen Ausstrahlung (Abstrahlungsrate der Photonen)

M(λ,T) = (2Pi/c^2)*x^4/(e^x-1) (47)

x:= hc/(λ*kBT) (48)

Ableitung->

4*(1-e^-x) -x =0   (49)

xmax = 3,9206903948 (50)

λmax = hc/(xmax*kBT) = 3669,7 μm K/T. (51)

Die spektrale Photonenrate des Maximums ist proportional zu T^4.

13.10. 4.39 Beziehung zwischen  λ max und tpb” sowie f max

Mit der zuvor gefundenen Beziehung

xmax = 4,9651142317444 = 1´*4,957275341408= 1´*V4DPl (52)

und

h*c = 0,2Pi*(mPa“*rpa“^3/tpb“^2)*10^-26 J m (53 a)

h*c = 0,2Pi*(V4DPl/tpb“^3)*10^-26 J m (53 b)

sowie

V4DPl =mpa“*rpa“^3*tp“ =4,957275341408 ()54

erhält man

λ max = hc/(xmax*kBT) = 0,2Pi/(1´*tpb“^3*kB“) *10^-3 m/T (55 a)

λ max = 2Pi/(1´*tpb”^3*kBT)) *10^-3 m/T (55 b))

λ max = 0,2*Pi/(0,1570479894*1,380649)= 2897,77195 μm /T (55 c)

λ max = 0,2*Pi/(0,1570479894*1,380649)= λa"max *10^3*μm /T (55 c)

1´= (1+0,001*logc´) (56)

Die Wellenlänge  des Intensitätsmaximums ist gem.

λa"max = 2,89777195 =1/0,5874459282^2  = 1/(cos 54,024027774)^2 (57 a)

 λa“max  = 1´/(0,58789257576^2) =1´/fb“max^2. (57 b)

in gleicher Weise wie die entsprechende Frequenz fb“max   grundwinkel-bestimmt. 

14.10.18 Quanten-taktisch/trigonometrische Eruierung der Maximums-Wellenlänge /Frequenz der Photonenrate

Die VF der Maximums-Wellenlänge und der Maximums-Frequenz der Photonenrate können wie folgt ebenfalls in Beziehung zu einem real-variierten VF der Planckzeit in Beziehung gebracht werden. Die Differenz der VF ist gegeben durch

λ“ max –f“ max = 3,669702865-3,32057417= 0,349128695 (58 a)

λ“ max – f“max = 0,5908711323^2 = (sin 36,2188507877)^2 (58 b)

λ“ max – f“max = (sin(36+ tpb*^3 *kB))^2 = (sin36´)^2 (58 c)

tpb* =1,70021880969/Pi (59 a)                                    

tpb* =(1,7+0,001*tpb´^3*kB)/Pi =1,7´/Pi. (59 b)

Die Feinkorrektur von 1,7´= 1,7+x/1000 ergibt sich aus der EB-G

x -((1,7+x/1000)/Pi)^3*1,380649. (60)

Das Produkt

λ“max *f“max = 3,669702865*3,32057417= 12,18552054509 = 12´ (61 a)

ist gem.

λ“max * f“max = 12 + 1,00040089´/5,392399493 =12 + 1´/tpa“ (61 b)

wiederum mit einem real-variierten Planckzeit-VF verknüpft. Aus (58) und (61) folgt schließlich die quadratische Gleichung

fmax^2+(sin36´)^2*fmax -12´. (62)

Damit ist auch λ“max bestimmt. Die ganzzahligen Exponenten stellen sich mit der oben gewählten VF-Definition gem.

λ max = 3,669702865*10^-3 m K/T (63 a)

λ max = 3,669702865*10^-s2 m K/T (63 b)

und

fmax = 3,32057417*10^10 Hz K^-1* T (64 a)

fmax = 3,32057417*10^s4 Hz K^-1* T (64 b)

wiederum als Summen der natürlichen Zahlen dar. Die obigen  Betrachtungen zeigen, dass die Strahlungsformeln sich letztlich offenbar auf einen Planckkörper-Strahler zurückführen lassen.

15.10.18 Quanten-taktisch/trigonometrische Darstellung der VF der Photon-Energie (hfp)“ und von (hfp/tB)“

Die Schwingungs-Energie des Planck-Photons ist mit der 137*-ModellFrequenz

fp = 1,8544620095 * 10^43 s^-1 (1)

gegeben durch

E(fp)= h*fp = 6,62607015*1,8544620095 *10^9 J (2 a)

E(fp) = 12,287795365*10^9 J = E(fp)“*10^9 J . (2 b)

Untergliederung des VF gem.

E(fp)“ = 12 + 0,287795365 (3)

in die Ganzzahl 12 und den Bruch 0,287795365 führt zu

0,287795365 = sin(16+0,726013681897 )(4 a)

0,287795365 = sin(16+cot54,019837020756). (4 b)

Die Bestimmung des Grundwinkels 54´ gelingt mit

0,726013681897 = cot54,019837020756 (5 a)

wiederum per EB-G

0,726013681897 = cot54/(1+0,00072842443818) (5 b)

x = cot54/(1+0,001*x´) (5 b)

mit der Feinapproximation

x´= 0,00100333`*x. (6)

Die Umrechnung in den zugehörige VF der thermischen Energie erfolgt mit dem Faktor

(h*fp/kB)” = 6,62607015*1,8544620095/1,380649 (7 a)

(h*fp/kB)” = 8,900013953914 =8,9+0,00001*(sin36´+cos36´) (7 b)

(h*fp/kB)” = 89´/10, (7 b)

der sich feinapproximativ als per Grundwinkel korrigierte Fibonacci-Zahl  89 darstellt. 

1.11.18 Grundwinkel-basierte Verknüpfung der Zustandsdichte der Schwingungen sowie der Lichtgeschwindigkeit mit dem Raumzeit-Netz/Raster

Die Anzahl der erlaubten Schwingungszustände im Frequenzintervall (f,f+df)   ergibt sich bezogen auf einen fiktiven Planckstrahler gem.

D(f)*df = V*g(f) *df = 4*2Pi *V*f^2/c^3 df (1 a)

D(f)*df = 8Pi*V/lp^3*(f/fp)^2 *df/fp (1 b)

als Zahlfaktor. Die Potenz der Lichtgeschwindigkeit ist danach durch das Verhältnis V/lp^3 auf 3 festgelegt. Der dimensionslose Zahlenfaktor erfordert damit das Produkt f^2*df. Der konstante Vorfaktor g(f)“ kann, wie zuvor bereits gezeigt wurde, gem.

g(f)“ = 8Pi/ca“^3 = 8Pi/2,99792458^3 =0,93277683246169436875 (2 a)

g(f)“ = tan 43,008020500183126925 = tan43´ (2 b)

43´-grundwinkelbasiert eindeutig auf das Raumzeit-Netz/Raster zurückgeführt werden. Der Faktor 8Pi = ca“^3 *tan43´ ist damit ebenfalls festgelegt. Für die Energie im Frequenzintervall (f, f+df) erhält man danach 

U(f,T) = V/v1*tan43´ (f/(f1*10^8))^3 h*df/e^(hf/kBT-1) (3)

v1 = 1m^3 (4)

f1 = 1/s, (5)

wobei der Faktor V/v1*tan43´ (f/(f1*10^-8))^3 wiederum als dimensionsloser Zahlfaktor formuliert wird, der das Volumen/Frequenz-Verhältnis bzgl. einem fiktiven Planckstrahler beschreibt.

Gem. (2) können 8Pi und ca“^3 als Seiten in einem 43´;47´;90-Elementardreieck des Raumzeit-Netz positioniert werden. Für den VF der Lichtgeschwindigkeit ergibt sich damit die Darstellung

ca“ = 2*(Pi/tan43,008020500183126925)^1/3. (6)

Die feinapproximativ als Fibonaccizahlen-Verhältnis 8/5 dargestellte Feinkorrektur des Winkels

0,8020500183126925 = 0,5*8´/5 = 4´/5 (7 a)

0,8020500183126925 = 4,0102500915634625/5 (7 b)

führt dabei mit

4,0102500915634625/4 = 1,002562522890865625 (8)

und der daraus folgenden EB-G

4,01+x = 4*(1+10´*x) (9)

10´= 39+Pii4´^2/10 = 39+(45*sin4´)^2/10 (11)

zu

x = 0,01/(39+Pii4´^2/10) = 0,01/(39+(45*sin4´)^2/10). (12)

2.11.18 

Urgründige Bestimmung  der Planck-Konstante sowie der Schwarzkörper-Strahlungsenergie per Grundwinkel-Basierung

Zuvor wurde die Beziehung

ha“ *tan43´ = 10*(2*sin54´-1) = 10*(2*cos36´-1) (13)

aufgezeigt. Daraus folgt

ha” = 10*(2*cos36´-1)/tan43´. (14)

Setzt man nun 43´ =43, so ergibt sich

ha” = 10*(2*cos36´-1)/tan43 = 10*(2*cos36,00696 -1)/tan43, (15)

wonach der VF der Planck-Konstante auf die Grundwinkel 36´ und 43° des Raumzeit-Netzwerks zurückgeführt werden kann .(6 = periodisch) Da der ganzzahlige Betrag-Exponent als Oberfläche AXK =34 der postulierten Exponentialkugel gegeben ist, ist die Planck-Konstante per Q-TTRGG somit gem.

h/ (Js) = ha” *10^-AXK  = ha” *10^-34 (16 a)

h/(Js) = 10*(2*cos36,00696 -1)/tan43 * 10^-34   = 6,62607015*10^-34  (16 b)

vollständig festgelegt. Mit (15) geht

U(f,T)/(J) = tan43´* V/v1* (f/(f1*10^8))^3 h*df/e^(hf/kBT-1) (3)

über in

U(f,T) /(J) =1´*(2*cos 36,00696 -1)*10^-57 *V/v1*(f/f1)^3*df/e^(hf/kBT-1) (17)

1` = tan43,008020500183126925/tan43, (18)

wonach der konstante Energie-Vorfaktor urgründig feinapproximativ  nur von einem real-variierten Grundwinkel 36´ und dem ganzzahligen Einheitsbogen-Winkel 57° bestimmt wird.

2.11.18  Eruierung des Verhältnis von Planck- und Boltzmann-Konstante per Fibonaccizahlen-Verhältnis

Der in der Verteilungsfunktion

1/(e^(hf/kBT - 1) (19)

auftretende Exponent hf/kBT enthält das konstante Verhältnis

h/kB = 6,62607015/1,380649 * 10^-11 K*s (20 a)

h/kB = 4,79924307336622* 10^-11 K*s. (20 b)

Das Verhältnis 

kB”/ha" = 1,380649/6,62607015 = 0,2083661912333 (21 a)

1,380649/6,62607015 = log 1,61572033616365154 = log (21,00436437012747/13) (21 b)

0,2083661912333 = log (1,00020782714892714*21/13) (21 c)

kann dabei logarithmisch feinapproximativ als Verhältnis der Fibonacci-Zahlen 21 und 13 dargestellt werden. Aus (21 c) folgt danach die EB-G

x = log(1+x´/1000)+log(21/13) (22)

x´ = x*cos4,12´.  (23)

Daraus ergibt sich dann die feinapproximative Darstellung

ha” = kB”*(1-0,001/ln10*cos4,204´)/log(21/13) (24)

sowie das Verhältnis

ha”/ kB” = (1-0,001/ln10*cos4,204´)/log(21/13). (25)

6.11.18

Alternativ ergibt sich mit (21) die EB-G

x-21/13*(1+0,001*logx) x-21/13*(1+0,001*log(x´)) (26)

mit

x´ = x-1/499´. (27)

 

3.11.18 Gemeinsame Bestimmung der Planck- und der Boltzmann-Konstante per Q-TTRGG

Im hierigen Modell werden die Vorfaktoren der Natur-Konstanten als im grundwinkel-basierten Raumzeit-Netzwerk verankerte String/Saiten-Längen/Radien gedeutet, die folgedessen definitiv miteinander verknüpft sind. Dies wird nachfolgend am Beispiel der VF der Planck- und der Boltzmann-Konstante demonstriert. Die Summe der ganzzahligen Betrag-Exponenten

Xh + XkB = 34 + 23 = 57 (1)

erweist sich als ganzzahliger Einheitsbogen-Winkel 57°. Da der ganzzahlige Exponent definitiv als Oberfläche AXK =34 der postulierten Exponentialkugel festgelegt ist, ist damit auch der Exponent 

XkB = 57-34 = 23 (2)

bestimmt. Das zugehörige Produkt der Vorfaktoren

ha“ * kB“ = 6,62607015*1,380649  = 9,14827712652735 (3 a)

kann gem.

ha“ * kB“ = 6 + 3,14827712652735 (3 b)

ha“ * kB“ = s3 + Pie4,5´ (3 c)

mit

Pie4,5´ = 40*tan 4,500297318959677032 (4 a)

Pie4,5´ = 40*tan(4,5+0,001*(3-1/373) (4 b)

grundsummen/Pi-basiert  feinapproximativ formuliert werden. Die Summe der VF ist gegeben durch

ha“ + kB“ = 6,62607015 + 1,380649 = 8,00671915. (5)

Damit ergibt sich in Verbindung mit (3) die EB-G

8 +1,14827712652735 = 8,00671915 * 1,14257499921517167241 (6 a)

8 + 1,0049905934543422416073*x = 8,00671915 * x, (6 b)

die zu

x = 8/(8,00671915-1,0049905934543422416073) (7 a)

x = 8/7,0017285565456577583728624606527 (7 b)

x = 8/7*cos(4/Pie0,5´) (8 a)

Pie0,5´ = 360*tan(0,5+0,001/65). (8 b)

Damit erhält für die Summe der VF gem.

ha“ + kB“ = ha“ * kB“/x. (9)

Die VF erhält man dann als Wurzeln der quadratischen Gleichung

x^2 + 8,00671915*x + 9,14827712652735 (10)

x01 = ha“ = 4,003359575+2,622710575 (11 a)

x02 = kB“ = 4,003359575-2,622710575 =1,380649 (11 b)

mit den Feinapproximationen

4,003359575 = 4+0,001*(8-VEDD´) (12)

und

2,622710575 = (1+(ri1*cos1,5959´)^2/2)^2. (13)

 

4.11.18 

Herleitung der 3d-Zustandsdichte sowie Vergleich mit der geometrischen Veranschaulichung von h und kB

Der Vorfaktor der Planck-Konstante kann gem.

ha“ = 10^34*h = 10^34*6,62607015 *10^-34 = 6,62607015 (1)

als 10^34 h-Strings/Saiten aufgefasst werden. Der ganzzahlige Betrag-Exponent  stellt sich gem.

 Xh  = 34 = AXK = 4Pi*rXK^2 = 4Pi*(e^0,5´)^2  (2)

als Oberfläche einer Exponentialkugel dar. Selbige kann gem.

Xm + Xv + Xr = Xh = 34 (3)

in die 3 *Zustands-Größen* Masse , Geschwindigkeit und Radius bzw. Länge unterteilt werden. Für den Vorfaktor der  Boltzmann-Konstante

kB = kB“ *10^-(57-34) = 1,380649 *10^-34 J/K (4)

wurde hier gem.

kB“ = 1,380649 = 1,113510784421^3 = ri1´^3 (5)

eine Darstellung als ri1´^3-Würfel eingeführt. Selbiger Würfel stellt gem.

ri1´^3 = di1´^3/8 (6)

1/8 des di1´-Würfels dar, der die EDD-Inkugel umschreibt. Der kB“/r1´-Würfel kann mithin als Oktant aufgefasst werden. Interessanterweise führt die Definition eines Impulsraums  ebenfalls zur Annahme eines Oktanten. Die folgende Herleitung  der Zustandsdichte, die ebendiese Annahme sowie die Positionierung der Zustände auf einer Kugeloberfläche beinhaltet, ist entnommen  dem faszinierenden Lehrbuch von Klaus Stierstadt: Thermodynamik für das Bachelorstudium, 2. Auflage, p. 46 ff. und p. 344 ff. 

Die Anzahl n der Halbwellen λ/2 zwischen den Behälterwänden eines würfelförmigen Körpers mit der Kantenlänge L ist gegeben durch

λn/2 = L/n (1 a)

n = 2L/ λn. (1 b)

Für den zugehörigen Impuls gilt nach de Broglie

pn = h/ λn = hn/2L. (2)

Andererseits kann der Impuls gem.

pn = h/2L*(nx^2 + ny^2 + nz^2 )^0,5 = hn/2L (3)

durch den Radius n einer Kugel im Impulsraum beschrieben werden. Gleichsetzung von  (2) und (3) führt danach zu

n = 2Lf/c. (4)

Mit

dn = 2L/c df (5)

ergibt sich damit für das Volumen des positiven Oktanden (der Impuls-Kugelschale (nx, ny, nz; n>0) 

dΩ = 2/8*4π*n^2 dn  (6 a)

dΩ = π*(2Lf/c)^2*2L/c *df (6 b)

dΩ = π*(2L/c)^3*f^2 *df  = 8π/c^3*V*f^2* df, (6 c)

wo der Faktor 2 auf 2 Polarisationsrichtungen und 1/8  auf 1/8-Volumen des positiven Oktanten zurückzuführen sind.  Damit erhält man für die Zahl der Zustände bzw. der Moden im Frequenzbereich f bis f+df

D(f) df = 8π/c^3*V*f^2* df. (7)

11.11.18  Zustandsfunktion eines idealen Gasatoms aus quanten-taktisch/trigonometrischer Sicht

Die Zustandsfunktion  eines idealen Gasatoms  kann durch

lnΩ = 1,5*N*(ln(4Pi*e/3h^2)*m)-lnN+2/3*lnV + lnU) (1)

beschrieben werden. (s. Lehrbuch von  Klaus Stierstadt, S.55)

Für Argon mit m=6,63*10^-26 kg erhält man damit für den 1. Term in der Klammer

ln(4Pi*e/3h^2)*m) = ln(11,3863123/6,62607015^2*6,63*10^42) (2 a)

ln(4Pi*e/3h^2)*m) = ln(1,72`*10^42) = ln(VEDD´/12*10^42)  .(2 b)

Danach stellt  sich der Vorfaktor

(4Pi/3*e*m/h^2)“ =  1,72` =  15/12*tan54´ = VEDD´/12`  (3)

aus quanten-taktisch/trigonometrischer Sicht schlicht und einfach  als 1/12-Oberfläche des  EDD dar. Der ganzzahlige Exponent  erweist  sich als um 1 verminderter Grundwinkel 43 des raumzeitlichen Netzwerks.

 

9.11.18 Alternative Herleitung der 3d-Zustandsdichte  

Zustandsdichte D(E) = Anzahl der Zustände pro Energieintervall = Ableitung der Anzahl der Zustände N nach der Energie E

D(E) = dN/dE (1)

Das kleinste reziproke Volumen, welches von einem einzigen Zustand eingenommen wird  

V1 = (2π)^3/V (2)

Von N Zuständen eingenommenes reziprokes Volumen einer Kugel

VN = 4/3 π k^3 (3)

mit der Wellenzahl k als Radius der Kugel. Die Anzahl der Zustände ergibt sich damit  zu

N^3d=VN/V1=4/3π k^3V/(2π)^3=V/6π^2 k^3 (4)

Dispersionsrelation

ε(k) = c k (5)

k = ε /(c ) (6)->

Zustandszahl

N^3d = V/6π^2 * ε ^3/(c )^3 (7)

Ableitung nach ε -> Zustandsdichte

D(ε) = d(N^3d)/dε = 3V/6Pi^2* ε^2 /(c )^3 =V/2Pi^2* ε^2/(c )^3 (8)

g(ε) = D(ε)/V = 1/2Pi^2* ε^2/(c )^3. (9)

2 Polarisations-Freiheitsgrade/Richtungen ->

2 g(ε) =1/Pi^2* ε^2/(c )^3 = 8Pi ε^2/(ch)^3  (10)

Die Integration über 8Pi/(ch)^3 *ε^3/(e^( ε /kBT)-1)*dε  von 0 bis ∞ 

liefert dann wie im Fall der Frequenz-Darstellung für die Gesamtenergie-Dichte

u(T) = 8Pi/(ch)^3*Pi^4/15 *(kBT)^4 (11)

u(T) = Pi^5/15*(kBT)^4/(ch)^3). (12)

(Exzellente  Anleitung findet man auf der Webseite: universaldenker.de)

10.11.18

u(T) =0,756573325028*10^-15*T^4 J/(m^3*K^4). (11 c)

Die Formulierung 

u(T) = (Pi^2/15)*(kB/c )^3*kB T^4 (11 d)

mit reduzierter Planck-Konstante führt zu  einer vorzüglich einfachen  Darstellung

U(T) = (Pi^2/15) * (V/V*) * (kBT)*(T/T1)^3 (12)

mit einem fiktiven (Minimal-?)Volumen 

V* = (c /kB)“^3*10^-9  m^3 = 12,007172335217*10^-9 m^3 (13)

und 

T1= 1K  (14)

sowie der Feinapproximation

0,00717234  = 0,01/(15*sin5,3332`)= 0,01/(sin36´+cos36´), (15)

wobei (c /kB)“ die dimensionslosen Vorfaktoren beinhaltet.

Per Integration über  2g(ε)/(e^ ε/kBT-1) d ε erhält man die Photonendichte

n(T) = 2*ξ(3)/Pi^2*(kB/c )^3*T^3   (15 a)

n(T) = 2*1,20205690316/Pi^2*(kB/c )^3*T^3 (15 b)

und

N(T) = 2*ξ(3)/Pi^2*(V/V*)*(T/T1)^3 .  (16)

Neuere Untersuchungen deuten auf Abweichungen der Strahlenformeln bei sehr kleinen Volumina hin, die zu einem wesentlichen Teil wahrscheinlich auf die Integration anstelle der diskreten Summation  zurückzuführen sein könnten. 

14.11.18 

Herleitung der Zustandsdichte des freien Elektronengas (s. universaldenker.de/theorien/1095)

Zustandsdichte D(ε) = Anzahl der Zustände pro Energieintervall = Ableitung der Anzahl der Zustände N nach der Energie ε

D(ε) = dN/d ε. (1)

Das kleinste reziproke Volumen, das von einem einzigen Zustand eingenommen wird:  

V1 = (2π)^3/V. (2)

Von N Zuständen eingenommenes reziprokes Volumen einer Kugel

VN = 4/3 π k^3 (3)

mit der Wellenzahl k als Radius der Kugel. Damit ergibt sich die Anzahl der Zustände zu

N^3d=VN/V1=4/3π k^3V/(2π)^3=V/6π^2 k^3. (4)

2 Spin-Zustände (spin-up und spin-down)->

N^3d= 2VN/V1 =V/3π^2 k^3. (5)

Wellenzahl per quadratischer Dispersionsrelation (3d):

k = (2m ε /^2)^1/2 (6)

k^3 = (2m ε /^2)^3/2. (7)

Einsetzen in (5) ->

N^3d = V/3π^2 (2m ε /^2)^3/2 = V/3π^2 (2m/^2)^3/2 ε ^3/2. (8)

Differenzieren der Zustandszahl  nach der Energie:

D(ε) =3/2*(V/3π^2)*(2m/^2)^3/2*ε ^1/2 (9 a)

D(ε)=(V/2π^2)*(2m/^2)^3/2*ε ^1/2. (9 b)

Zustandsdichte D(ε) pro Volumen

g(ε) = 1/2π^2*(2m/^2)^1,5*ε ^0,5 (10 a)

g(ε) = 2/(2^0,5*Pi^2)*(m^1,5/ħ^3)*ε ^0,5 (10 b)

g(ε) = 2Pi*(2m)^1,5/h^3*ε ^0,5. (10 c)

 

8.11.18 Thermodynamische Herleitung der Entropie/Energie-Dichte sowie der Wärmekapazität des Schwarzkörper/Hohlraum-Strahlers

Die folgende Herleitung ist entnommen dem vortrefflichen Lehrbuch von Christoph Strunk: Moderne Thermodynamik, Bd.1 , 2. G auf Basis des hierigen Modells. Davon ausgehend folgt jeweils eine quanten-taktisch/trigonometrische Darstellung/EBG auf Basis des hierigen Modells.

Für die innere Energiedichte gilt bei konstanter Zusammensetzung

U/V = T S/V - pV/V (1 a)

u = T s - p. (1 b)

Die freie Energiedichte ergibt sich damit zu

f = u - T s = -p. (2)

Maxwell fand bereits 1873 für den Strahlungsdruck die Beziehung

p = u/3. (3)

In Verbindung mit (1) und (2) erhält man damit

u = T s - u/3 (4 a)

u(T) = 3/4 T s (4 b)

und

df/dT =-s(T) = -1/3 du/dT = -1/3 Tds/dT.  (5)

Per Trennung der Variablen  gem.

ds/s = 3 dT/T (6)

und Integration über T ergibt sich

s(T) = b T^3 (7).

Die Integrationskonstante b ist dabei gegeben durch

b = 4/3 a3 = 4/3*7,56573325028*10^-16  J m^-3 K^-4 (8 a)

b = 10,087644333707 *10-16  (a31) = b“* 10^-16  (a31). (8 b)

Damit ergibt sich die trigonometrische Beziehung

b“ = 10+0,087644333707 = 10+tan(5+0,00885137296614). (9 a)

Diese führt zu der Pi-basierten Darstellung

b“ = 10 + tan(5+0,1*tan( 5,058280620936))   (9 b)

b“ = 10 + tan(5+0,1*tan(5+0,1* log(12/Pii6´)))   (9 c)

Pii6´= 30*sin(1,0004*6) (10)  (4 = periodisch)

sowie zu der EB-G

x-tan(5+0,1*x/cos(8,037`)).   (11)

Die Wärmekapazität pro Volumen erhält man   danach gem.

cv = T ds/dT = 3 s(T) = 3 b T^3  (12)

mit

3b = 4*a3 = 4*7,56573325028*10^-16  J m^-3 K^-4 (13 a)

3b =  3,026293300112*10^-15 a31 = 3b“ *10^-s5  a31. (13 b)

Der Vorfaktor 3b“  kann  wie folgt feinapproximativ auf den Einheitsbogen-Winkel  zurückgeführt werden

3b“ = 3,026293300112 = 1/sin(57,29531620934804-38) (14 a)

3b“ = 1/(180/Pi-0,001*sin27,6005). (14 b)

Einsetzen von s in (4)  führt schließlich zu der Gesamtenergie-Dichte

u (T) = 3b/4 T^4  =7,56573325028*4/3 *10^-16*a31 *  T^4 (15 a)

3b/4  = 1,0087644333707 *10^-s5 a31  = 3b”/4*10^-s5 a31. (15 b)

Damit ergibt sich für den VF die trigonometrische Gleichung

3b”/4 =1+0,0087644333707 = 1+0,1*tan 5,00885137296614, (16)

womit man die EB-G

0,087644333706= tan(5,00885137296614) (17 a)

x-tan(5+0,1*x/cos(8,037`))   (17 b)

erhält.



6.04.19 Beziehung zwischen den VF/Anfangs-Strings der Strahlungs-Konstante und der Proton-Geschwindigkeit

Die sog. Strahlungs-Konstante ist s5=15-basiert gegeben durch

a = 8*Pi^5/15*kB^4/(c*h)^3 = a“ *10^(-4*23+3*26)*a1 (1 a)

a = a”* 10^-15* a1 = a”*10^-s5 *a1 (1 b)

mit der SI-Einheits-Größe

a1 = 1 (J K^-4 m^-3) (2)

und dem VF/Anfangs - String

a” = 10*8*Pi^5/15*kB”^4/(ca”*ha”)^3 (3 a)

a” = 10*8*Pi^5/15*1,380649”^4/(2,99792458*6,62607015)^3 (3 b)

= 10*593,03622434366/7838,450084421222 = 0,75657332502800. (3 c)

Mit der Stefan/Boltzmann-Konstante ist diese über die Beziehung

σ = c/4 *a = 8*Pi^5/15*kB^4/(c^2*h^3) = 5,67037441918*10^-8 W K^-4 m^-2 (4)

verknüpft. Der Vergleich mit dem VF/Anfangs-String der Proton-Geschwindigkeit

vPr“ = 0,7564370268 (5)

zeigt eine weitgehende Übereinstimmung beider VF/Anfangs-Strings.

Danach können beide VF gem.

0,75657332502800 = 0,7564370268/cos(1+tan5,00 5´) (6)

trigonometrisch in einfacher Weise zueinander in Beziehung gesetzt werden.

7.04.19 EDD-Basierung des VF der Strahlungs-Konstante per EDD-Volumen

Formuliert man die Strahlungs-Konstante gem. 

a16 = a16“ *a1 *10^-16 = 7,5657332502800*a1*10^-16   (1)

so kann der VF gem.

a16“ = 7,5657332502800  = VEDD´ (2)

mit

VEDD´ = 5*sin54´*(tan54´)^2 = 5* cos36´*(cot36´)^2  (3)

VEDD´ = 10*sin50´ (4)

mit

als  real-variiertes EDD-Volumen VEDD´ verstanden werden. Aus (3 a) folgt

VEDD´/4  = 5/4 *sin54´*(tan54´)^2 = 1´ * (tan54´)^2 = 1´ * (t´cot36´)^2  (5)

Damit erhält man in Verbindung mit (2) die vorzüglich einfache Beziehung

a16“ = 4*(tan54´)^2 = 4*cot(36´)^2  (6)

mit

36´ = 36,02154872761 = (1+(6-1/70,2132278210558)/10^4))*36. (7)

Daraus folgt die EB-G

36+x =  (1+(6-1/(70+10*x´)/10^4))*36.  (8 a)

x = 36*(6-1/(70+10*x´))/10^4, (8 b)

die mit  x = x´ in die quadratische Gleichung

 x^2+(7-36*6/10^4)*x-36/10^5*(6*70-1) (9)

überführt werden kann. Die gesamte Energie eines Strahl-Körpers mit dem Volumen V bei der Temperatur T ist damit gegeben durch

E = a*T^4*V= a16“*a1*10^-16*T^4*V (10 a)

E = VEDD´*a1*T^4*V *10^-16  = VEDD´ *T^4*V *10^-16 *(J K-^4 m^-3). (10 b)

Danach wird die Strahlungs-Energie im tiefsten Grunde  primär vom real-variieten EDD-Volumen bestimmt.

8.04.19

Der VF der Strahlungsleistung eines idealen Schwarzkörper-Strahlers bei Norm-Temperatur T0 = 273,15 K ist mit

σ“ = 0,299792458/4*7,56573325028 = 0,567037441918 (1)

gegeben durch

P“ = 0,567037441918*2,7315^4 = 31+0,5657822310825 ) (2 a)

P“ = 0,567037441918 *(50+5,66789756301) = 31+0,5657822310825. (2 b)

Daraus folgt, wie hier bereits gezeigt wurde, die EB-G

P“ = x *(50+10´*x) = 31+1“*x, (2 b)

die zu der quadratische Gleichung

X^2+(50-1“) /10´x-31/10´ (3)

führt. Mit

10´= 10-1/229 =9,995633187773 (4)

1“ = 1-1/452 = 0,9977876106195 (5)

erhält man ein innerhalb der Fehler-Toleranz mit (1) übereinstimmendes s“. Für den VF der Norm-Temperatur ergibt sich damit der Ausdruck

T0“ = (50 + 10´*s“ )^0,25 (6 a)

T0“ = (50 + 0,567037441918*(10-1/229))^0,25 = 2,7315, (6 b)

der mit

σ“ = cb“/4*VEDDa16“ (7)

übergeht in

T0“ = (50 + 10´*cb“/4*VEDDa16“)^0,25 (8 a)

T0“ = (50 + (2,5-1/916)*0,299792458*7,56573325028)^0,25 = 2,7315. (8 b)

Danach wird das Volumen des 4-dimensionalen T0“^4-HyperWürfels über 50 hinaus wiederum durch den VF der Stefan/Boltzmann -Konstante bestimmt. Für den VF der Strahlungsleistung folgt daraus

P“ = cb“/4*VEDDa16“ *(50 + 10´*cb“/4*VEDDa16“), (9)

wonach selbiger ausschließlich durch das VF-Produkt cb“* VEDDa16“ = cb“ *a16“  festgelegt ist.

9.04.19 Eruierung des VF der Strahlungs-Konstante per Einheitsbogen-Winkel

Das hierige QTTRGG-Modell beinhaltet die Annahme, dass die VF/Anfangs-Strings in Form verschiedener geometrischer Gebilde wirksam werden können. Nimmt man so den VF der Strahlungs-Konstante als Winkel an, so ergibt sich bezogen auf den  Einheitsbogen-Winkel

a16"^2 = 7,56573325028^2 = 57,24031961439 = 180/Pi´ (1)

mit

Pi´= Pie3´= 3,1446365291562941 = 60*tan3,000161676404 (2)

und

Pie3´= Pi*1,00096889568513 = Pi*(1+0,001*x), ( 3)

womit man zu

a16“ = (3/tan3,000161676404)^0,5 (4)

sowie zu der EB-G

x-tan(44+x´/10) (5)

mit

x´= x-0,01*(1+x) (5)

gelangt.

10.04.19  VF der Wienschen Verschiebungs-Konstante per grundwinkel-basierter  EB-G

Ein vorzüglich einfache  Darstellung des VF der Wienschen Verschiebungs-Konstante

gelingt  mit der Untergliederung

b“ = 2,897771955  =1+1,897771955  = 1+(tan(54+(tantan(54+0,00089715768))))^2  ,    (1 a)

womit man zu  der vortrefflich einfachen grundwinkel-basierten EB-G

(tan(54+(tantan(54+x/1000))))^2  - x (2)

gelangt.


11.04.19 Gleichzeitige Eruiierung von fmax* = fmax“/T und k B“/ha“ per EB-G

Der auf die jeweilige Temperatur bezogene VF der Frequenz der maximalen Photonenrate und der Temperatur  

fmax*= fmax“/T = 1,59362426004 * k B“/ha“ = 3,3205741732 =0,1/0,301152736798 (47 a)

kann in Form von

fmax* = 0,1/log(2+0,0005653237) = 0,1/log(2+0,001*(1-0,4346763) ) (47 b)

mit reziprokem log2´ feinapproximativ dargestellt werden. Die FibonacciZahlen-Darstellung

k B“/ha“ = 1,380649/6,62607015 = 0,20836619 = Log((1,00020783*21)/13) (48 a)

führt zu der EB-G

log(1+x´/1000)*21/13 - x 0,20836620485 (49)

mit  

x´ = x*cos4´. (49)

Zusammen mit der Grundsummen-Basierung Xfmax/T = 10 = s4 eröffnet sich damit per FibonacciZahlen-Darstellung von fmax*= fmax“/T eine von den Natur-Konstanten k B und h unabhängige Modell-Darstellung von fmax/T. Eine gleichzeitige Bestimmung von fmax*= fmax“/T  und k B“/ha“ gelingt wie folgt. Per Umformung von (48 a) zu

k B“/ha“ = 1,380649/6,62607015 = 0,20836619123 = log ((21+0,004364370126309263)/13) (48 b)

erhält man in Verbindung mit (47) die Gleichung

fmax* = 0,1/log(2+0,001*(1-0,4346763) ) = 1,59362426004 *log((21+0,00436437)/13), (50)

die zu der EB-G

fmax* = 0,1/log(2+0,001*(1-x) ) = 1,59362426004*log((21+x´)/13) (51)

mit

x´ = 1,004´*x (52)

führt. Diese liefert sowohl fmax* als auch k B“/ha“ entsprechend der derzeit von k B vorgegebenen Genauigkeit. 

12.04.19 QTRGG-Darstellungen von h, kB  sowie h*kB  und kB/h

Während die Planck-Konstante die elektromagnetische Energie mit der korrespondierenden Frequenz verbindet, stellt die Boltzmann-Konstante den Zusammenhang von thermischer Energie und Temperatur her. Die hier eingeführte QTTRGG-Darstellung der Planck-Konstante lautet

h = h“*10^-AXK = 4Pi*tan36´^2 *10^-34 J s = 6,62607015*10-34 J s, (1)

h” = 6,62607015 = 4Pi*tan36´^2 (2)

36´= 90-54´ = 36-0,01492719418 = 36-0,1*(Pie5´-3) (3)

Pie5´ = 36*cot 85,0005053409 -3 = 36*cot(85*(1+4´/10^9)) (4)

wonach der ganzzahlige Betrag-Exponent sich darstellt als Oberfläche AXK = 34 der postulierten Exponential-Kugel und der Vorfaktor (VF) als Oberfläche einer Kugel mit dem grundwinkel-basierten Radius rK = tan36´ = cot54´ veranschaulicht werden kann. Im Unterschied zu der üblichen Volumen-Vorstellung wird das sog. Wirkungs-Quantum hier mit einer Oberflächen-Wirkung verbunden. Die Veranschaulichung der Boltzmann-Konstante

kB = kB“ 10^(-23)  J K^-1 = 1,380649 *10^-23 J K-1 (5)

gelingt per Q-TTRGG gem.

kB“ = Vm/NA“ *p0“/T0“ = ri^1´^3 = (cos36´/tan36´)^3 = 1,380649 (6)

mit dem VF als Volumen eines Elementar-Würfels mit einem geringfügig real-variierten Inkugel-Radius des EDD

ri1´ = 1,380649^1/3 = 1,113510784421 = 1,000005´*ri1 = cos36´/tan36´ (7)

36´ =36,000101474273 (8)

als Kantenlänge. Damit erhält man das Produkt

kB * h = 1,380649*6,62607015*10^-(23+34) J^2 s K^-1 = 9,1482771265 *10^-57 J^2 s K^-1 (9)

mit dem ganzzahligen EinheitsBogen-Winkel 57 als ganzzahligen Betrag-Exponent. Da der Betrag-Exponent von h durch die 34er-Oberfläche der postulierten Exponentialkugel definitiv festgelegt ist ergibt sich XkB = 34-57 = -23. Die weitere Betrachtung beschränkt sich nunmehr auf die VF. Die Verknüpfung von (2) und (6) führt zu den QTTRGG-Darstellungen

h“ * kB“  = 9,1482771265 = 4*Pi*tan36´ = 4*Pi*0,85322726324^2 (10)

36´ = 36,05449693495 = 36+0,1*cos57´ (11)

57´ = 56,977430894637  =57/(1+0,001*(sin36´+cos36´-1)) (12)

und

kB“/h“ = 0,20836619123  = sin54´^2/Pi (13)

54´= 54,0056148585 = 54+0,01*(1-sin26,009´). (14)

Damit erhält man

h“ * kB * kB“/h“ = kB“^2 = 2* sin(2*x) (15)

kB“ = (2*sin(2*36´))^0,5 (16 )

36´ =36,19101913337435 = (1+9´/10^10)* 36, 1910 (17)

und

h” = 2*Pi*((tan36´)^0,5/cos36´) (18)

36´ = 36,0299201564 = 36,03-0,0001*cos(37,019´). (19)

13.04.19  Eruiierung der Exponenten der Boltzmann- und der Planck-Konstante per Verknüpfung von Exponenten-Summe und Anfangs-Strings

Ähnlich wie die ganzzahlige Exponentensumme Xk+Xh = -23-34 =-57 kann auch die gebrochene Exponenten-Summe gem.

Xk´+ Xh´  = -22,8599167173 - 33,1787439706 =-56,0386606879  (1)

-(Xk+ Xh)´  = 56´ = 90 -34´ (2)

34´ = 33,9613393121 = Pi/ 3,13802041438*34 (3)

Pi´= 3,13802041438 = Pie5´= 36*sin5,000660900 (4)

per 56´;34´ grundwinkel-basiert formuliert werden. Die Exponenten-Summe steht überdies gem.

Xk´+Xh´= -56,03866068789 = -400,03817449018 * log1,380649´ (5 a)

Xk´+Xh = 400,03817449018*(Xk+23) (5 b)

 in einem feinapproximativen Zusammenhang mit dem Anfangs-String der Boltzmann-Konstante und gem.

-56,0386606879   -1/0,017844823337 = 10,0165727148/(-33,17874397057+33) (6 a)

(Xk´+Xh´) = -1/(0,017844823337 ) = 10,0165727148/(Xh+33) (6 b)

auch mit dem Anfangs-String der Planck-Konstante. Damit erhält man für beide Exponenten die einfache quadratische Gleichung

x^2+56,0386606879*x+758,4633239525(7 )

14.04.19    

Der Exponent der Planck-Konstante kann gem.

Xh´ + 33  = -0,1787439706 =- 4,1111113238/23 = -4,1111111111/23 *(1 + 517/10^10) (8)

in Verbindung mit dem ganzzahligen Exponent 23 der Boltzmann -Konstante   einfach dargestellt werden.


15.04.19

Die Summe der gebrochenen Exponenten ist gegeben durch

Xk´+ Xh´ = Xk +Xh + logk“ + logh“ = Xk +Xh +xk + xh (9 a)

Xk´+ Xh´ = -23 - 34 + 0,14008328268 + 0,821256029433 (9 b)

Xk´+ Xh´ =  -57 + 0,961339312113 = -56,038660687887 (9 c)

Xk´+ Xh´ = 90-34´ = -57 +1´ =56´. (9 d)

Die Abweichung der Summe der Anfangs-Strings

xk + xh = 1 - 0,038660687887 = 1´ (10 )

von 1 kann gem.

0,38660687887 = ri1´^4 /4 = V4DW/4 (11)

vorteilhaft als ¼-Volumen eines 4D-Hyperwürfels mit einem real-variierten Inkugel-Radius des EDD

ri1´ = 1,115147697763 = ri1 + 1/(613-0,0045) = sin54´*tan54´ +1/(613-0,0045) ()

feinapproximativ dargestellt werden. Eine feinapproximative Darstellung des Produkts der gebrochenen Exponenten

Xk´ * Xh´ = 23*33 - 23*(1-xh) + 33*xk (12 a)

Xk´ * Xh´ = (57-34)*34 - 23*0,178743970567 + 33*0,14008328268 (12 b)

Xk´ * Xh´ = 759  - (4,1+ 2,12´/10^7) + 4,62+ 1/1900,75´ = 758,46332395244 (12 c)

gelingt gem.

758 +x - 759*cos(1/x´)  (13)

vorzüglich per EB-G mit

x´ = x+0,0007653501007 = x + ´0,0001* VEDD´ (14)

und

VEDD´ = 7,653501007 = VEDD -1/(104-1/36´) = 7,663118960625-1/(104-1/36´). (15)

(Fettdruck = periodisch)

16.04.19 QTTRGG-Darstellung und Verhältnis von Planck- und der Boltzmann-Konstante

Mit der Exponenten-Summe der Anfangs-Strings

xh + xk = 1-V4D/40 (16)

und deren Differenz

xh -  xk = cos47,064646279´= cos47´ (17)

ergeben sich die einfachen Darstellungen

xh = (1-V4D/40 + cos47´)/2 (18)

und

xk = (1-V4D/40 -cos47´ )/2. (19)

Danach sind die ganzzahligen Exponenten der Planck- und der Boltzmann-Konstante

gem.

Xh + Xk = -34 - 23 = -57 ( 20)

durch die 34er-Oberfläche der postulierten Exponential-Kugel und den ganzzahligen Einheitsbogen-Winkel 57 festgelegt. Die Exponenten der Anfangs-Strings werden dahingegen von einem gegenläufig durch die Abschirmung (cos47´) betroffenem ¼-Volumen V4D/40 bestimmt.

Schlussendlich erhält man damit die vortrefflichen QTTRGG-Darstellungen

Xh´ = Xh + xh = -34 + (1-V4D/40  +  cos47´ )/2 (21)

und

Xk´ = Xk + xk = (34-57) + xk = -23 + (1-V4D/40  - cos47´ )/2, (22)

die bestechend anschaulich die Natur und das Verhältnis von Planck- und  Boltzmann-Konstante offenbaren.