Strahlungs-Gesetz
Autor: Roland Stodolski
10.06.22 AXK/EDD-basierte geometrische Darstellung der Stefan/Boltzmann-Konstante
Resümee
Die Stefan/Boltzmann-Konstante ist gem.
σ = Pi^2/60 *k^4 /(hq^3c^2)
σ = Pi^2/60* 1,380649^4/(1,0545718176^3*2,99792458^2) *10^(-4*23-16 +3*34)* σ1
σ = Pi^2/6 * 0,344717429*10^-7* σ1 = 0,5670374424 *10^-7* σ1
mit dem SI-Faktor
σ1 = 1 W m^-2 T^-4
durch Pi und 3 Natur-Konstanten bestimmt. Eine AXK/EDD-basierte Modell-Betrachtung führt hingegen zu der geometrisch anschaulichen Darstellung
σ = rXK *(Pi/sin36´ - 5) *10^-UIK*σ1 = rXK´ *(UKrP1´ - 5) *10^-UIK*σ1
mit
dem EDD-Inkgelumfang
UIK = 7
und dem Exponentialkugel-Radius
rXK = Pi^2/6
sowie den EinheitsPentagon-Umkreisumfang
UKrP1´ = Pi/sin36´
mit
36´ = 36,0006171´ = 36 +0,001*(21/34)´.
Auf Basis einer AXK-Basierung erhält man die geometrische Darstellung
σ = Pi^2/60 * 3,44717429*10^-7*σ1 = 34,022246544´/60*10^-UIK*σ1
mit der Exponentialkugel-Oberfläche
34,022246544´= AXK´ = 34 *(1+0,001*(cos36´)^2).
.05.22
Die Gesamtenergie des Strahlungsfelds eines Schwarzen Strahlers ist gegeben durch
U = 8Pi*h/c^3 *(kT /h)^4 *Pi^2/15* V = 8Pi^5*( k/h) = (Pik^4/(15c^3h^3)*V T^4.
Für den 1.Faktor wurde bereits die grundwinkel-basierte Darstellung
8Pi*h/c^3 = (2*sin54´-1) *10^-57
aufgezeigt. Der 2. Faktor beträgt
(kT /h)^4 = (1,380649/0,662607015)^4*(10^-23+34) = 2,083661912333^4 * 10^44
(kT /h)^4 =18,8498983679 *10^44 = 19´*10^44 = 57/3 *10^44.
Damit ergibt sich die grundwinkel-basierte Darstellung
(kT /h)^4 = 19*cos(36´/5)*10^44
mit
36´= 36 + 0,1*(8 -VEDD´).
Daraus folgt für die Boltzmann-Konstante die Darstellung
k = h * (19*cos(36´/5))^0,25 *10^11 = 6,62607015 *(19*cos(36´/5))^0,25*10^11
.
15.02.22 fmax
Die Ableitung der Frequenz-Darstellung der Planckschen Strahlungsformel führt zu der bekannten EB-G
(3-x)*e^x = 3
mit der Lösung
x = 3*(1- e^-x ) = 2,8214393721221
Die EDD-Basierung von x führt zu
2,8214393721221 = 34/12*cos(5,251750613297)
und
Pi/ 2,8214393721221 = 1,11347161475 = ri1´
mit
ri1´= sin(54) *tan54´ = cos36´ *cot 36´
und
54 ´= 54 - 0,000813803785 = 54 - 0,001 *sin(54+sin28´)
sowie
36´= 36 + 0,000813803785 = 36 + 0,001 *sin(54+sin28´).
Mit
e^(-34/12*cos(5,251750613297)) = 0,1*sin(36,527040181910067812)
ergibt sich die EB-G
e^(-34/12*cos(10*x-sin(1+0,1*sin(43,4)))) = 0,1*sin(36+x).
Gem.
fmax = x*kT/h = (2,8214393721221*1,380649)/6,62607015 *10^(34-23) (K s)^-1 *T
erhält man damit die maximale Frequenz
fmax = 0,5878925758 *10^11 (K s)^-1 * T
mit der grundwinkel-basierten Anfangsstring-Darstellung
fmax“ = 0,5878925758 = sin(36,00760117581) = sin(36*1,00021´) = sin(36*(1 + 0,001/mP“^2)).
16.02.22
Mit dem Quader –Volumen
VQ = 1,380649*2,7315 *1,11347161475 = 4,1991717472
erhält man das Volumen der äquivalenten Kugel gem.
VÄK = 4/3*Pi *1,000825455332^3 = 4/3*Pi *1,002478410688
mit
1,000825455332 = 1/cos(10*((5/1,003´)^0,5-2)).
14.02.22 λmax
Nach dem von Wilhelm Wien 1893 entdeckten sog. Wien´schen Verschiebungs-Gesetz
λmax = b/T
nimmt die maximale Wellenlänge eines *Schwarzen Strahlers* mit zunehmender Temperatur ab, Es gilt
λmax = h*c/(x*kBT)
wobei x sich über die bekannte Beziehung
x /(1-e^-x) = 5
zu
x = 4,9651142317…
ergibt. Damit folgt für die maximale Wellenlänge
λmax = 6,62607015*2,99792458/(4,9651142317*1,380649) *10^-3 m K/T = 2,8977719* 10^-3 m K/T.
Eine EDD-Basierung führt zu
x = 5*(1-e^-x) = 5*(1 - 1/143,32492158771´) = 5* (1- 6,97715365145/1000) = 5*( 1 - UIK´/1000)
mit dem EDD-Inkugelumfang
UIK´= 6,97715365145 = 2*(Pi*ri1)´ = 2*Pi´*ri1 = 2*Pi´ *1,1135163644
und dem Inkugelradius ri1 sowie
Pi´ = 3,13293718643 = Pii9´ = 20 * sin(9,01232119763) = 20 * sin(9 + 0,01/sin54´).
Damit ergibt sich die EB-G
4,9651142317´ = x = 5*(1 - 0,04*sin(9+0,01*(x´^0,5 - 1)))
mit
x´ = x +1/58´.
13.02.22 AXK-basierte Darstellung der mittleren Wellenlänge des Photonengas sowie der Boltzmann-Konstante
Die Bestimmung der mittleren Frequenz des Photonengases erfolgt mit der Integrationsvariablen
h/(kB*T) = h“/(kB“*T“) * 10^-13 K*s.
Für die Normtemperatur T0 beträgt der Vofaktor danach
h“/(kB“*T0“) = 6,62607015/(1,380649*2,7315) = 1,75699911161 = 1/0,5691522513559.
Das führt mit x = 0,5691522513559 zu der EB-G
(1,7´ +x/10) = 1/x
und damit zu der quadratischen Gleichung
x^2 + 17´*x -10 = 0
mit
17´ = 17,0008388647 = 34,0016777294/2 = 34´/2 = AXK´/2
und der Lösung
x = -34´/4 + ((34´/4)^2+10)^0,5 = -8,50041943235 + (8,50041943235^2 + 10)^0,5 = 0,5691522513559.
mit der Feinapproxmation
34´/4 = 8,50041943235 = 34/4 + 0,001* 41943235 = 8,5 + 0,001 *arcsin(73,2´/10^4).
Damit erhält man für die Boltzmann-Konstante die Darstellung
kB = h *x/273,15 = 6,62607015*0,5691522513559/2,7315 *10^(-34+13-2) Js/(Ks) = 1,380649 *10^-23 J/K.
5.02.22 Herleitung des Stefan/Boltzmann-Gesetz per mittlere Wellenlänge/Frequenz
Die thermische Energie von N Photonen beträgt
E = N*kT.
Die Anzahl der Photonen im Volumen V ist gegeben durch
N =V/Vph = V/λm^3,
wo λm die der jeweiligen Temperatur entsprechende mittlere Wellenlänge bezeichnet. Damit erhält man für die thermische Energiedichte
E/V = kT/ λm^3 = kT /c^3 *fm^3
mit fm als mittlere Frequenz der thermischen Energie.
Die mittlere Wellenlänge ergibt sich dabei per Integration über f^3/ (e^(hf/kT) -1) über alle Frequenzen von 0 bis unendlich gem.
1/ λm^3 = Pi^4/15 *(kT/hc)^3 = Pi^4/15 * (kT/hc)^3 = Pi^4/15* (kT/hc)^3
Die auf das jeweilige Volumen bezogene Energiedichte ergibt sich damit zu.
E/V = Pi^4/15 *(kT/hc)^3 * kT.
Für die Strahlungsleistung erhält man danach mit
2*b = 2(Polarisationen) * Oberfläche einer Einheitskugel = 2*4Pi
P = c/4 2*b*Pi^4/15 *(kT/hc)^3 *kT = c/4 *2*4Pi*Pi^4/15 * k^4/(hc)^3*T^4
P = 8*Pi^5/60 * k^4/(h^3 *c^2)*T^4 = 2*Pi^5/15 *k^4/(h^3 *c^2)*T^4
bzw.
P = Pi^2/60 * k^4/(hq^3 *c^2)*T^4. = S *T^4.
6.02.22
Allgemein erfolgt die Frequenzmittelung für den n=3;2;1-dimensionalen *Schwarzen Strahler * mit
x = hf/kT durch (0 bis unendlich)-Integration über x^n/(e^x-1). Mit b3 = 2Pi , b2 = Pi und b1 = 1 ergeben sich dann für n = 3
a3 = 2*b3* 6* ξ (4)*(k/(h*c))^3*k = (2*4Pi)*( 6*Pi^4/90) *(k/(h*c))^3*k = 8Pi^5/15*k^4/(h*c)^3,
für n = 2
a2 = (2*Pi )*(2* ξ (3))*(k/(h*c))^2*k = 4Pi*1,2020569032´*k^3/(h*c)^2
und für n = 1
a1 = 2* ξ (2) *k/(h*c) *k = 2*Pi^2/6 * k^2/(h*c) = Pi^2/3* k^2/(h*c).
Für die Energiedichte
uv( n) =E/L^n = an *T^(n+1)
und die Strahlungsleistung
Pn = c/4 *uv(n)
erhält man damit für n =3
uv3 = E3/L^3 = E3/V= 8 Pi^5/15 * k^4/(h*c)^3*T^4 = S*T^4
P4 = 2 Pi^5/15* k^4/(h^3*c^2)*T^4,
für n = 2
uv2 = E2/L^2 = E2/A = (2*Pi)*(2*ξ(3))* k^3/(h*c)^2 *T^3 = 4Pi*1,2020569032´* k^3/(h*c)^2 *T^3
P2 = c/4*uv(2) = Pi*1,2020569032´* k^3/(h^2*c) *T^3
und für n = 1
uv1 = E1/L = 2*ξ(2) *k^2/(h*c) *T^2= 2* Pi^2/6*k^2/(h*c) *T^2 = Pi^2/3*k^2/(h*c)*T^2
P1 = c/4*uv(1) = Pi^2/12*(k^2/h)*T^2.
2.02.22 Darstellung der Stefan/Boltzmann-Konstante und der Norm-Temperatur per photonischen ExponentialKugelWellen-Strahler/Emitter
Mit der zuvor gefundenen Darstellung
S =10* rXK´*(UKrP1´- 5) *10^-8 W/(m^2*K^4) = 10* Pi^2/6*0,34471742875 * 10^-8
folgt
S“ = 10 * rXK´*(UKrP1´- 5) = AR1´ = 10*Pi^2/6*0,34471742875 = 5,67037442 =34,022246519/6 = AXK´/6
mit der grundwinkel-basierte
AXK´= 34´= 34,022246519 = 34 * (1+0,001*0,65430939) = 34 * (1 + 0,001*(cos(36,012´))^2)
stellt sich der Anfangsstring der Stefan/Boltzmann-Konstante als eine elementare Strahlungs-Fläche dar, die als
1/6-0berfläche AXK´/6 = 34´/6 einer photonischen Exponentialkugel - Welle gedeutet werden kann.
Zugleich erschließt sich damit gem.
T0"^4 = (T0/100)^4 = 273,15^4/10^8 = 50 + 5,667897563 = 50 + 34,007385378/6 = 50 + 34"/6 = 50 + AXK"/6
die Norm-Temperatur
T0" *100 K = ((50 + 34"/6)*10^8)^0,25 K = 273,15 K.
mit
AXK" = 34" = 34,007385378 = 34*1,000217´. (Fettdruck = periodisch)
Danach ist die Norm-Temperatur T0 = 273,15 K = 2,7315*100 K durch eine Exponentialkugel-Oberfläche und die 100er-Teilung der Temperatur-Skala bestimmt .
Eine Dreieckszahl/Fibonaccizahl-Basierung führt zu der Darstellung
T0"^4 = 55+ 0,667897563 = S10 + (2/3)´
mit der Dreieckszahl
S10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Definiert man eine photonische Exponentialkugel-Welle als Strahl - Körper mit der Oberfläche AXK´ = 34´ und nimmt zugleich an , dass diese in alle Richtungen Photonen gleichermaßen emittiert, so entfällt auf jede der 6 möglichen Richtungen 1/6 der gesamten Oberflächen-Emission. Das entspricht der Annahme eines ungerichteten Photonen - Gases.
27.01.22 Stefan/Boltzmann - Konstante per P3´ = σ*T0^4 = σ * 273,15^4 K^4
Mit
P3´ = σ*T0^4 = σ*273,15^4 K
P3´ = 5,670374419 *(2,7315)^4 W /m^2= 315,6578223 W/m^2
ergibt sich
x = (310 -1/80´)/(2,7315^4-1)
mit
80´ = 80/1,004169813 =79,667800171165 = 1/0,0125521226625
und
0,4169813 = arcsin(72,7763236071/10^4) = arcsin(1/(137+0,407325684484))
sowie der EB-G
0,4169813 = x =arcsin(1/(137 + x´)).
Überdies gilt
50´ + σ" = 50 ´+ 5,670374419 = T0"^4 = (273,15/100)^4
mit
50´ = 50 - 0,002476856 = 50/1,00005´ = 50*cos(57´/100).
1.02.22
Der ganzzahlige Exponent der Stefan/Boltzmann-Konstante folgt mit
2,7315^4*100^4 = (50 + 5,66789756)*10^8 = (50 + 1´*S“ ) *10^8
und
σ* 2,7315^4*100^4 = σ” *(50+1´*σ” )
gem.
σ = σ“*(50+ 1´*σ“ )/( 2,7315^4 *100^4) = σ“ *10^-8.
aus der 100er -Teilung der Temperatur-Skala.
19.01.22 Darstellung von kB durch hq per EDD(UKrP1´)/Grundwinkel(57)-Basierung sowie der Stefan/Boltzmann-Konstante
Eine weiter gehende EDD/Grundwinkel-Basierung der Faktoren der Stefan/Boltzmann-Konstante führt zu der Darstellung
kB^4/hq = 1,380649^4/10,545718176 *10^(-4*23+35) J^4/( J s K^4)
kB^4/hq = 0,3633566649/10,545718176 10^-57 J^3/(s K^4)= 0,34455374099 *10^-57 J^3/(s K^4)
(kB^4/hq)” = 5,34455374099-5 = Pi/sin 36´ - 5 = UKrP1´ - 5
mit
36´= 36+ 0,001*1,8920821 = 36 + 0,001*(tan(54- 1/59´)^2.
Daraus folgt mit kB und hq in SI-Einheiten
kB´ = kB/kB1 = (hq´*( UKrP1´ - 5) *10^ -57 )^0,25 = (hq“*( UKrP1´ - 5)*10^(-57-35))
kB = (hq“*( UKrP1´ - 5))^0,25*10^-23*kB1 = (hq“*( UKrP1´ - 5))^0,25*10^-23 J/K
mit
kB1 = 1 J/K
und
hq´= hq/hq1 = hq /( 1 J s).
Danach kann die Boltzmann-Konstante, die als Umrechnungs-Faktor von thermischer in elektromagnetische Energie fungiert, per Grundwinkel(57)/EDD(URP1´)-Basierung durch hq in SI-Einheiten dargestellt werden.
AXK-Basierung
Pi^2 *(kB^4/hq)” = Pi^2/10 * 3,4455374099 = 34,006091184867 = AXK´
mit
AXK´= 34 + 0.01*0,60911849 = 34 + 0,06/3,13851880347^2 = 34 + 0,06/Pii4,5´
Und
Pii4,5´= 180/4,5 * sin 4,5002226709 = 40 *sin(4,5 + 0,1/449´).
Damit ergibt sich
Pi^2/6 *(kB^4/hq)“ = 34,006091184867/6 = 5,667681864145.
Weiter gilt
(hq´*c´)^2 = (1,0545718176*2,99792458)^2 *10^(2*(-34+8)) = 10*0,999525153866*10^-52
(hq´*c´)^2 = (1,0545718176*2,99792458)^2 *10^(2*(-34+8)) = 10*0,999525153866*10^-52
(hq*c)“^2 = 10*cos(1,765758356532) = cos(1/0,566328906954).
Stefan/Boltzmann-Konstante
Schlussendlich erhält man danach für die Stefan/Boltzmann-Konstante
σ = Pi^2/60 *(kB^4/hq´)*1/(hq*c)^2 )
σ = 0,5667681864145/(cos(1/0,566328906954))*10^(-58+51) J/(m2 K^4)
σ = 0,56703744 *10^-7 J/(m2 K^4)
mit der EB-G
0,56703744 = x = x´/cos(1´/x )
und
x´= x - 0,001* tan(15,07´).
22.01.22
Grundwinkel-basierte Darstellung des Anfangsstrngs der Stefan/Boltzmann-Konstante
σ" = 0,56703744 = arcsin(34 + 0,5438947334) = sin(34+cos(57,0508341014)).
18.01.22 EDD/AXK-Basierung der Stefan/Boltzmann-Konstante
Die Stefan/Boltzmann-Konstante , die die Energieabstrahlung pro m^2, Sekunde und Kelvin^4 beschreibt, ist gegeben gegeben durch
σ = c/4 *aPhoton = c/4 *Pi^2/15* kB^4/(hq*c)^3
σ= Pi^2/60*c * kB^4/(hq*c)^3 = Pi^2/60* kB^4/(hq^3*c^2)
σ = Pi^2/60*1,380649^4/(1,0545718176^3*2,99792458^2)*10^(-4*23+3*34-16) W/(m^2 K^4)
σ = Pi^2/60*2,99792458 *1,380649^4/3,1615267734^3*10^-7 J/(m^2*s K^4)
σ = Pi^2/60*0,34471742875*10^-6 J/(m^2 s K^4)
σ = Pi^2/6*0,34471742875*10^-7 J/(m^2 s K^4).
Eine EDD/AXK-Basierung führt zu
σ= Pi^2/6*(Pi/sin36´-5)*10^-7 J/(m^2 s K^4)
σ = rXK´*(UKrP1´- 5)*10^-7 J/(m^2 s K^4)
mit
36´ = 36,000617106753
und
1,70127639643 = 1/sin(36,0006 + 0,00001*1,7106753)
sowie der EB-G
x - 1/sin(36,0006 + 0,00001*x) 1.70128.
Danach kann man das Produkt
rXK´*(UKrP1´- 5) = AR1´ = 0,567037442
fiktiv als eine elementare Strahlungs-Fläche in Form eines EDD/AXK-basierten Elementar-Rechtecks mit den Seiten rXK´und (UKrP1´- 5) und der Fläche AR1´ = 0,567037442 auffassen. Der ganzzahlige negative Exponent der Stefan/Boltzmann-Konstante kann als idealer Umfang des Hauptkreis der EDD-Inkugel
-XS = UIK
formuliert werden.
21.02.22
σ" = rXK´*(UKrP1´- 5) = AR1´ = 0,567037442
σ" = 0,567037442 = 4*(3,1417593605 -3) = 4*(Pie1´ - 3) = 4*(180*tan(cos(0,5641390278)) - 3)
EB-G
σ" = 0,567037442 = x = 4*(180*tan(cosx´) -3)
26.01.22
Die Stefan/Boltzmann-Konstante kann, wie zuvor gezeigt wurde, gem.
σ = Pi^2/60 *1/(hq*c)^2 * kB^4/hq
σ = Pi^2/60 *10^(2*(-34+8))/(hq”*c”) *kB”^4/hq” * 10^(-92+35) J/(m2 K^4
σ = Pi^2/6*10^50/(1,05457181765*2,99792458)^2*1,380649^4/10,5457181765*10^(-57)
J/(m2 K^4)
σ = Pi^2/6 *10^50/0,999523938595*0,344553950478*10^-57 = 0,5670374419*10^-7 J/(m2 K^4)
per EDD/AXK-Basierung in die 3 geometrischen Faktoren
Pi^2/6 = rXK´,
10^50/0,999523938595 = 10^50/cos(1/0,565605536577))
und
0,344553950478*10^-57 = (UKrP1´ -5 ) *10^-57 = (Pi/sin36´ -5)*10^-57
unterteilt werden .
Mit der Grundwinkel-Feinapproximation
36´= 36 +1+ 0,001 *1,8904502921 = 36 + 0,001*1,37493646839^2
36´= 36+0,001*cot(36 + 0,02863269941)^2 = 36 + 0,001*(cot(36 +0,01/0,34925103836))^2
ergibt sich gem.
0,344553950478 = Pi/sin(36 + 0,001*1,37493646839^2)-5
0,344553950478 = Pi/sin(36+0,001*(cot(36 + 0,01/0,34925103836))^2)-5
die EB-G
0,344553950478 = x = Pi/sin(36+0,001*(cot(36 + 0,01/x´))^2)-5.
Der zuvor hergeleiteten Exponent (s. Planckwelt)
X(hq*c) = Xhq +Xc = -25,5 - 2*0,000103135998 = -25,5 - 4*tan(1/(1/27,28 + 0,000001´))
führt zu
2*X(hq*c) = -51 - 2*0,000103135998 = -51 -0,000206271996
2*X(hq*c) = -51 - 0,0001/cos(61´)
mit
61´ = 61 + 0,001*sin(57,244068) = 61 + 0,001*sin(180/3,14444´)
und damit zu
10^51/(hq”*c”)^2 = 10^51*10^(0,0001/cos(61´) = 10^51/cos(1/0,56632895824).
21.02.22
0,56632895824 = 4*Pi´ -12 = 4*(Pi´ - 3)
10.08.21
Die Gesamt-Energie von N Photonen im Volumen V beträgt
E = N*kT .
Das Volumen eines Photons kann mit der DeBroglie-Wellenlänge
λb = hc/E = hc/(b´*kT)
gem.
Vph = λb^3 = b*(hc)^3/(kT)^3
dargestellt werden. Die Anzahl der Photonen in V ist damit durch
N = V/ λb^3 = b*(kT)^3/(hc)^3
gegeben. Damit ergibt sich mit der per Integration gewonnenen Konstante
b = 8Pi^5/15
die Energiedichte
E/V = N*kT = 8Pi/15*(kT)^4/(hc)^3 = a*T^4.
Für die Leistung pro Flächeneinheit gilt damit
c/4* E/V = 2Pi^5/15*(kT)^4/(h^3c^2) = σ *T^4,
wo σ die Stefan/Boltzmann-Konstante in W/(m^2 K^4) bezeichnet.
6.08.21 Elektron im Ruhe-Zustand als *Schwarzer Körper* im thermodynamischen Gleichgewicht mit dem Vakuum(-Gas)
Die Energie eines Schwarzen Strahlers ist gegeben durch
ES = aT^4V
mit der sog. Strahlungs-Konstanten
a = 8Pi^5/15 *k^4/(h*c)^3,
der Temperatur T und dem Volumen V des Schwarzen Körpers. Nach J. Puzicha gilt
T = E/3k = mE*c^2/3k
und für V kann das Volumen einer Kugel mit dem Radius Lth/2
V = 4/3*Pi* (λth/2)^3
mit der thermischen Wellenlänge des Elektrons
λth = (h/(mE*c))^3*(3/2Pi)^1,5
angesetzt werden. Damit erhält man
ES = 2^0,5*Pi^4,5/(15*3^3,5) *mE*c^2 = 0.34807575544 *mE*c^2
bzw.
E /3 = 1´*aT^4V.
23.04.21 Feinapproximation der Exponenten-Differenz Xa´-Xsigma´ = log(4/c) per EB-G
Die EDD-Basierungen der unterschiedlich definierten Strahlungs- und Stefan/Boltzmann-Konstanten führen zu
Xa´ = -2UIK-1 + log(a“) = -2*7 -1 + log(0,756573325) = -15 - 0,121148975
und
XϬ´ = -UIK + log(sigma) = - 7 + log(0,5670374419) = -7 - 0,24638826338,
wonach die thermische Strahlung eines Schwarzen Strahlers im Wesentlichen vom Umfang der EDD-Inkugel UIK bestimmt wird. Die Differenz der beiden Exponenten
Xa´-XϬ´= log(4/c) = 0,60205999133 - 8,4768207029 = - 8 + 0,12523928843
Xa´- XϬ´ = - 8 + 1/(7,9 + 0,08471480105) = -8 +1/(8*cos((7+0,084714801)/2))
ist auf die unterschiedlichen Definitionen der gem.
E = a*V*T^4
mit der abgegebenen Energie verbundenen Strahlungs-Konstante
a = E/(V *T^4 ) => J/(m^3 K^4)
und der durch die abgegebene Strahlungsleistung.
P = Ϭ´ * A*T^4
gem.
Ϭ´ = c/4 *E/(V*T^4) => m/s J/ ( m^3 K^4) = W/(m^2 K^4)
definierten Stefan/Boltzmann-Konstante zurückzuführen. Der Faktor c/4 geht dabei zurück auf den über alle möglichen Winkel gemittelten emittierten Energiestrom
IE(T) = A/(4Pi*R^2)*Pi*R2 *c *E(T)/V = A*c/4*E(T)/V
der mit Lichtgeschwindigkeit bewegten Photonen.
Die Feinapproximation der Exponenten-Differenz Xa´-Xsigma´ = log(4/c) gelingt danach per EB-G gem.
log( 4/c) = log4 - 8,4768207029 = - 8 +1/(7,9 + 0,08471480105)
log4 - 8,4768207029 = - 8 +1/(7,9 + x*cos2,034´)
und
log4 - 8,4768207029 = -8 + 1/(8*cos((7+0,0847148)/2))
8 -1/(8*cos((7+x´/100)/2) = -8 + 1/(8*cos((7+x´/100)/2)).
22.04.21 EDD/XK/Pi-Basierung von c“, Ϭ“ und a“ per Substitution der Natur-Konstanten
Ziel der hierigen Betrachtungen ist es, die Natur-Konstanten durch tiefergehende, geometrisch anschauliche Modell-Konstanten zu substituieren. Das wurde zuvor bereits am Beispiel der Stefan/Boltzmann- und der Strahlungs-Konstante EDD-basiert per Darstellung mit dem Inkugel-Umfang UIK demonstriert. Nachfolgend wird dies weiter ausgebaut. Der Anfang-String der Stefan/Boltzmann-Konstante ist gegeben durch
Ϭ" = 2,5*Pi^2/15*kB”^4/(c”^2*hq”^3)
Ϭ" = 2,5*Pi^2/15*1,380649^4/(2,99792458^2*1,05457181765^3) = 0,56703744.
Mit der zuvor aufgezeigten Relation
(c“/4)^2/cos(7,85130477823) = 0,56172198671/cos(7,85´)
erhält man
2,5*Pi^2/15*1,380649^4/(2,99792458^2*1,05457181765^3)*cos(7,85´) = 0,56172198671.
Beidseitige Multiplikation mit 15/Pi^2 liefert dann
2,5*1,380649^4/(2,99792458^2*1,05457181765^3)*cos(7,85´) = 0,56172198671*15/Pi^2
2,5*1,380649^4/(2,99792458^2*1,05457181765^3)*cos(7,85´) = 0,8537150486 = ruP1´
mit
ruP1´ = 1/(2*sin36´) = 1´/(2*sin36) = 1´*0,8506508083
als Radius des Umkreis eine EDD-Pentagons und der EB-G
0,8537150486 - 0,8506508083/cos(4+0,8559315111) = rup1*cos(4+0,8559315111)
x - 0,8506508083/cos(4+1,0026´*x).
Alternativ ergibt sich die EB-G
0,8537150486 = 1/1,17135102828 = 1,70743009714/2
1+0,0006080183+0,1707430097)*1,70743009714
(1,0006080183+ x)*10*x = 20
mit
1,0006080183 = 1+0,001/1,6446866196 = 1+0,001/rXK´ = 1+ 0,006´/Pi^2 =1+0,001´*(Pi/8,5)^0,5,
die zu der quadratischen Gleichung
x^2+10,006080183*x-20
mit der Lösung
x01 = (45+0,0005/1,6446866196)^0,5 - (5+0,0005/1,6446866196) = 1,70743009748
bzw.
x01 = 6,71047018898-5,0030400915 = 12*cot54,0251338509 - (5+0,0005/1,6446866196).
Das führt zu
(c”/4)^2 = 1,70743009748/2 * Pi^2/15
und
c” = (8*1,70743009748/15)^0,5*Pi = 2,99792458
sowie zu
Ϭ" = 0.56703744 = 1,70743009748*Pi^2/(30*cos(7,85130477823))
und
a“ = 4/c“ Ϭ" = (1,70743009748/30)^0,5*Pi/ cos(7,85130477823) = 0,75657333.
Somit ist es unter Berücksichtigung von
1,70743009748 = 2*0,85371504874 = 2*ruP1´ = duP1´
gelungen alle Natur-Konstanten durch geometrisch anschauliche Modell-Konstanten auszutauschen.
22.04.21
Der negative Exponent der Strahlungs-Konstante
Xa´ =- (2UIK+1+log 0,756573325) = -15,121148975
kann mit
0,121148975 = sin 6,9584178174 = sin(UIK´)
und
UIK´ = 2*Pi *(ab)^0,5 = 2Pi*1,10746659174 = 2Pi*12*Pi/(1+0,00120167545*34)
per EB-G
arcsin(x) = 24*Pi^2/((1+x*cos (1000/137,035998206)/100)*34)
feinapproximiert werden. Somit ist die Strahlungs-Konstante EDD-basiert allein durch den Umfang der EDD-Inkugel bestimmt.
21.04.21 Gemeinsame Bestimmung der Strahlungs- und der Stefan/Boltzmann-Konstante per EB-G
Der durch die Fläche A abgegebene Energiestrom ist gegeben durch
IE = A*c/4*E(T)/V = c/4* a * T^4 = sigma * T^4.
mit
a = Pi^2/15 *k^4/(c^2*hq^3) = Pi*Pi/15*1,380649^4/(2,99792458^3*1,05457181765^3)
0,0756573325*10^-14 = 0,756573325 *10^-15 = 0,756573325*10^-S5 = 0,756573325*10^-(2*UIK+1)
in Ws/(m^3 K^4)
und
Ϭ = Pi^2/60*1,380649^4/(2,99792458^2*1,05457181765^3)*10^-6
Ϭ = 0.05670374419 *10^-6 = 0,5670374419*10^-7 = 0,5670374419*10^-UIK
in W/(m^2 K^4).
Danach besteht zwischen der sog. Strahlungs-Konstanten a und der Stefan/Boltzmann-Konstante sigma die Beziehung
a = 4/c * sigma.
Die gemeinsame Bestimmung beider Konstanten gelingt wie folgt per EB-G
4/c“*0,5670374419059 = 0,7 + 0,0565733250113
4/c“* x = 0,7-0,00013041918 + x/10
x = 0.05670374419 = (0,7-0,00013041918)/(4/c“-0,1)
mit
0,00013041918 = 0,001*(1 +7´/12)/7,6631189606) = 0,001*(1 +UIK´/12)/VEDD).
Damit ergeben sich
Ϭ = UIK´/(40/c“ -1) *10^-(UIK) in in W/(m^2 K^4)
und
a = 4/c * UIK´/(40/c“ -1)*10^-(2*UIK+1) = UIK´/(10-c”/4)*10^-(2*UIK+1) in Ws/(m^3 K^4).
Demnach werden beide Konstanten vom Umfang der EDD-Inkugel UIK = 7 und dem Anfangstring der Lichtgeschwindigkeit c“ = 2,99792458 bestimmt. Das legt einen Ring-String entlang eines Großkreises der EDD-Inkugel nahe.
Ϭ" und (c"/4)^2
Der Anfang-String der Stefan/Boltzmann-Konstante und die quadratische Seitenlänge (c“/4)^2 des zuvor aufgezeigten c“-Planquadrats stehen überdies wie folgt in einem engen Zusammenhang
sigma” 0,5670374419 = (2,99792458/4)^2 = 0,56172198671*cos(7,85130477823155)
Ϭ" = = 0,56172198671*cos(10*Pi´/4)
mit
Pi´ = 3,1405219113 = Pii2,5´ = 72* tan 2,49756480976
und der EB-G
2,49756480976 = 2,5*cos(2,5291193972)
2,49756480976 = x = 2,5* cos((1+0,01*43/34)*x)
bzw.
x = 2,5*cos(2+18/34).
18.04.21 Grundwinkel-Basierung der Photonen-Zustandsdichte
Auf Basis einer linearen Dispersions-Relation ergibt sich für die Zustandsdichte des Photonen-System eines Hohlkörper-Strahlers die Zustands-Dichte
g(ԑ) = ԑ^2/(2*Pi^2*(c*hq)^3) = eps^2/ (Pi^2*(1,0545718176*2,99792458 J m)^3)*10^(78 =S12) .
Eine Grundwinkel-Basierung des Nenners führt zu
2Pi^2*(1,0545718176*2,99792458)^3 = 623,76403847545834 = 360*3´^0,5
mit
3´= 3,00217265196924 = 3+0,001*(1+1,172651969) = 3+0,001*(1+2*cos54,1032799197)
3´= 3+0,05*log(e/cos(34´/18)).
16.04.21 Exponentialkugel/EDD-Basierung der Stefan/Boltzmann-Konstante
Die Stefan/Boltzmann-Konstante
σ = Pi^2/60 *kB^4/ (c^2*hq^3) = 0,567037442*10^-7 W/(m^2*K^4)
σ = Pi^2/60 *3,447174287528* 10^-7 W/(m^2*K^4) = 0,567037442*10^-7 W/(m^2*K^4)
kann gem.
σ = V4DK1/(3^0,5)^2 *10*(Pi/sin (36,000617106731)-5)*10^-UIK W/(m^2*K^4)
σ = 0,1644934066848*10*(UP1´-5) * 10^-UIK W/(m^2*K^4)
σ = rXKE*(UP1´-5) * 10^-UIK W/(m^2*K^4)
mit rXKE = Pi^2/6 als Radius der postulierten Exponentialkugel, UP1´ als Umkreisumfang eines Einheits-Pentagons und UIK= 7 als Umfang der EDD-Inkugel per Exponentiakkugel/EDD-Basierung geometrisch veranschaulicht dargestellt werden. Die Beziehung
UP1´- 5 = (rXKE/10)/log3´ = (Pi^2/60 )/log3´
führt schließlich zu
σ = (rXKE)^2*0,1/log3´* 10^-UIK W/(m^2*K^4) = (Pi^2/6 )^2 *0,1/log3´ * 10^-UIK W/(m^2*K^4)
und schlussendlich zu
σ = 34/(4Pi´)*0,1/log3´* 10^-UIK W/(m^2*K^4) = 8,5/Pi´ *0,1/log3´* 10^-UIK W/(m^2*K^4).
18.04.21
σ = Pi^4/(360 *log3´) *10^-UIK W/(m^2 K^4)
mit
3´= 3,0004287538005 = 3*1,0001429179335 = 3*(1+0,0001*(Pie5´-2))
und
Pie5´= 3,142917933485 =90 *tan 2,000030952413
sowie der EB-G
x = 0,30952413 = sin(18+ 0,0305547036)
x = sin(18+ x´/10).
Damit ergibt sich
a(Photon) = 4/c*σ = 10^-15/(log(21-1/(44*cos1´)) W s/(m^3 K^4)
a(Photon) = 10^-S5/(log(S6-1/(44*cos1´)) W s/(m^3 K^4)
mit der Dreieckzahl
S5 = 1+2+3+4+5 =15
als negativer Exponent sowie die Dreieckzahl
S6 = 1+2+3+4+5+6 = 21
im Nennerlogarithmus. Die Feinkorrektur zu 21´ erfolgtdabei mit dem Kehrwert des ganzzahligen Exponenten -44 der Planckzeit.
15.12.20 QTTRGG-Basierung der Faktoren der Stefan/Boltzmann-Konstante
Für die Stefan/Boltzmann-Konstante gilt die Relation
σ = Pi^2/60 *kB^4/(hq^3 *c^2) = Sigma“*10^(-4*23+3*34-16-1)
σ = σ“* 10^-7 W m^-2 K^-4
mit dem Anfangs-String
σ“ = rXK“ *kB“^4/(hq“^3*cb“^2)
σ“ = Pi^2/6 *1,380649^4/(1,05457181765^3*2,99792458^2)
σ“ = 1,644934067*3,63356665/(1,1728122222*8,987551787)
σ“ = (8,5/Pi´)^0,5 * (3+VPy)/((2*sin36´)*10/ri1´)
σ“ = rXK“ * (3+VEDD´/12)/((2*sin36´)*(tan60´)^4)
σ“ = 5,976977567/10,540710583 = 0,5976977567/1,0540710583
Sigma“ = 0,5670374421.
Daraus folgen mit
x = σ“ = 0,5670374421
die Relationen
0,5976977567 = x + 0,0306603146
mit
0,0306603146 = sin(1,7+0,1*(x+1/(360-sin36)))
und
1,0540710583 = 2*tan(30+10*(x+sin(1,7+0,1*(x+1/(360-sin36)))+0,0002*cos(35+x+0,03)))^2
sowie schlussendlich die EB-G
x+0,0306603146 = x*2*tan(30+10*(x+0,0306603146+0,0002*cos(35+x+0,03)))^2,
bzw.
x+sin(1,7+0,1*(x+1/(360-sin36))) = x*2*tan(30+10*(x+sin(1,7+0,1*(x+1/(360-sin36)))+0,0002*cos(35+x+0,03)))^2.
Mit dem so gewonnenen x = Sigma“ = 0,5670374421 können dann gem.
sowohl der Zähler
Pi^2/6*kB“^4 = 10*(0,5670374421+0,0306603146) = 5,976977567
als auch der Nenner von Sigma“
hq“^3 * c“^2 = 10*1,0540710583
hq“^3*c“^2 =20*tan(30+10*(0,5670374421+0,0306603146+0,0002*cos(35+0,567037442+0,03)))^2
QTTRGG-basiert bestimmt werden.
Zugleich erhält man durch geeignete Umstellung des Quotienten die vortrefflich einfache Darstellung
σ“ = 0,5670374421 = 1/(4 - 5,00169977574^0,5) = 1/(4-5´^0,5),
die auf 5 als Attraktor-Zahl bzw. auf dem 5D/10D- EreignisRaum basiert.
16.12.20
5´ = 5,001699774 = tan(54,068014596684)^5 (1+ 2*cos(54,0322751))^10
5*1,0003399548 = 5*(1+0,00001*34*cos(tan(43,05372))
und mit
tan43 = (Pi´^2/2-4)
folgt
5´= 5*(1+0,00001*34*cos(Pi^2/2-4))).
Die EigenBestimmungs-Gleichung (EB-G) des Anfangs-String der Stefan-Boltzmann-Konstante lautet
x*e^-x = 1´
mit
1´ = 0,5672033248* e^-0,567037442 = 0,99970754 = 1 -0,001*sin17´.
Für den Zähler von Sigma" gilt
Pi^2/6*kB“^4 = 0,5976977567 = 0,1 + log3,143641995 = 0,1 + logPie2,5´
mit
Pie2,5´= 3,143641995 = 72 * tan2,500043´.
Daraus folgt
kB"^4 = 60/Pi^2 * (0,1+ logPie2,5´).
Auf der Ebene der Exponential-Kugel erscheint der Zähler von Sigma“ gem.
0,5976977567 =34,06877213/57 = (34+0,1*sin43,45´)/57 = AXK´/57
als Kugeloberfläche pro Winkel-Grad mit dem ganzzahligen Einheitsbogen-Winkel 57 als Referenz.
Die Pi´-Darstellung der Oberfläche der Exponential-Kugel
AXK´ = Pi´^3/9
führt schließlich zu
kB“^4 = 60/Pi^2 *Pi´^5/(9*57) = 20*Pi“^3/(3*57)
mit
Pi“ = Pie3,5´ = 180/3,5 * tan3,500058.
23.02.21
kB"^4/(hq"^3*c"^2)
3,63356665/(1,172812222*8,987551787) =0,3447174288 = Pi/sin(36,0006171)-5
3,63356665/(1,172812222*8,987551787) = UKrAP51 - 5
UKrAP51 - 5 = Umfang des EinheitsPentagonUmkreis - Umfang EinheitsPentagon (5*1)
mit
36´= 36,0006171 = 36 +0,001*(1-cot(69+0,1*sin29´)).
Damit ergibt sich
σ = rXK´/10 * (UKrAP51 - 5) *10^-6 W m^-2 K^-4
Sigma = rXK´/10 * (UKrAP51 - 5) *10^-s3 W m^-2 K^-4
mit dem Exponentialkugel-Radius
rXK´= Pi^2/6 = (Pi^2/2)/3 = V4dK/3 (= Volumen der 4d Einheitskugel/3).
und dem ganzzahligen Exponenten
Xσ =s3 = -6
als negative Dreieckzahl.
14.09.20 Darstellung der spektralen Energiedichte im RaumZeit-NetzWerk
Die frequenz-abhängige spektrale Energiedichte (Planck-Spektrum) ist gegeben durch
u(f) = (8*Pi*h/c^3*f^3/(e^(h*f/k*T)-1) (s. K. Stierstadt , S.345)
mit
8*Pi*h/c^3 = 6,180644726*10^-58 Js/m^3
X = -AXK-3*(AXK/4-0,5) = -34-3*(34/4-0,5) =-58
und
h/k = 6,62607015/1,380649 = 10^-11/0,20836619123 s K
X = -34 +23 = -11.
Die Betrachtung auf der Ebene des RaumZeit-NetzWerks liefert
8*Pi*h/c^3 = 0,6180644726*10^-57 kg m^2 s^2 m^-3,
wonach der Vorfaktor der spektralen Energiedichte feinapproximativ gegeben ist durch den Golden-Schnitt im Maßstab 10^-57 mit 57 als ganzzahligem Einheitsbogen-Winkel. Der geringfügig real-variierte Golden-Schnitt ist dabei per 34´/grundwinkel –basierter Feinkorrektur
gem
2*cos36´-1 = 2*sin54,001485769775-1
54´ = 54,001485769775 = 54+0,001*cot(34*cos(34´/10))
sowie per
0,6180644726 = (2*cos36-1)/ cossin(34+sin43,161216577))
mit der EB-G
6,1+0,080644726- 6,1803398875/ cossin(34+sin((43+2*0,0806082885)))
6,1+x -6,1803398875/ cossin(34+sin((43+2*x)))
feinapproximativ darstellbar.
Für den Faktor h/k im Exponent der Exponential-Funktion ergibt sich zum einen die Pi´/57´-basierte Darstellung
h/k = 10^-10/2,0836619123 = 10^-s4/sin(180/Pi´)
180/Pi´ = 57,3609170497 = 180/3,1380251442643
180/Pi´ = 180/(Pi*cos2,73077777) = 180/(Pi*cos(1,3977477^3))
1,3977477 = sin36´+cos36´.
Zum anderen erhält man die FibonacciZahl-Darstellung
h/k = 10^-11/log(1,615720336) s K = 10^-11/log(1,00020782705*21/13) s K
mit der EB-G
10^(0,20836619123)- 1,00020782705*21/13
10^x- (1+0,001*x)*21/13.
Für die λ-abhängige Darstellung der spektralen Energiedichte gilt
u(λ) = (8Pi*hc/λ^5 *1/(e^(hc/(k*λ*T)-1)
Der VF ist danach gegeben durch
8*Pi*6,62607015*2,99792458 10^-26 J /m^4 = 499,24829692584 J/m^4
X = -34+(34/4-0,5) =-26.
Eine Pi-basierte Feinapproximation führt zu
499,248296925836 = 500*cos((1+0,01/54,05)*Pi).
Außerdem gilt
c^4*8*Pi*h/c^3 = 6,180644726186*2,99792458^4*10^-26 Js/m^4
c^4*8*Pi*h/c^3 = 499,24829692584 10^-2Js/m^4.
Der konstante Faktor im Exponent der Exponential-Funktion beträgt
hc/k = 6,62607015 *2,99792458 /1,380649 *10^-3 m K = 14,387768775* 10^-3 m K
X = -34 +(34/4-0,5)+23 = -3.
Grundwinkel-basiert erhält man
cot(34,8+0,001*((8,5/(120*sin(1,5´)))^0,5-1))
und per EB-G
0,64498391868 -sin(40,1+0,1*0,64469758)
x -Sin(40,1+0,1*x).
Alternativ kann der VF von hc/k gem.
14,387768775 = tan(86+0,1*sin(10*(sin36´+cos36´)))
feinapproximativ dargestellt werden.
13.09.20 Verknüpfung von λmax und fmax
Nach dem Wien`schen Verschiebungs-Gesetz gilt
λmax = 2897,7729*10^-6 m*K/T
und damit gundzahl/grundwinkel-basiert
λmax = 0,28977729*10^-10 m*K/T = 1/(10*0,587445832^2) *10^-10 m*K/T
λmax = 1/(s4*(sin36´)^2)*10^-s4
λmax = (1 + (tan54´)^2)/10 *10^-10 m*K/T = (1 + (tan54´)^2)/s4*10^-s4 m*K/T.
Die Frequenz des Maximums der spektralen Energiedichte ist gegeben durch
fmax = 0,5878925576*10^11*T/(sK) ,
was zu der Grundzahl/Grundwinkel-Basierung
fmax = 10*sin36”*10^10*T/(sK) = s4* sin36”*10^s4
führt. Beide Größen sind damit durch s4 = 10 und sin36´ bzw. tan54 ´ sowie sin36“ bestimmt.
Für die VF-Strings ergeben sich die Relationen
1/2,8977729^0,5 = 1,00076045*0,58789255
und
1/(2,8977729 + 0,587892557645) -10/(0,990033638*2,8977729).
Diese führen zu der EB-G
10/(2,8977729 + 1,00076045/2,8977729^0,5) -0,990033638*2,8977729
10,1006669-(x^2 + 1,00076045*x^0,5)
sowie zu der quadratischen Gleichung
X^2 - 10*(Pi/ 0,58737095757-5)*x +1/0,58699944563
X^2 - 10*(Pi/ sin36´-5)*x +1/sin36“
0,58737095757 = 1,000632899976*0,58699944563 =(1+0,001/1,58´)*0,58699944563,
deren Koeffizienten von Pi und sin36´/sin36“ bestimmt werden.
24.07.18 EDD-basierte quanten-taktisch/trigonometrische Darstellung der Wienschen Verschiebungs-Konstante
Nach dem Verschiebungs-Gesetz von W. Wien gilt für die Wellenlänge des Maximums der Planckschen Strahlungsformel
λmax = b/T = 2897,7729 *10^-6 m*K/T (1)
mit b =2897,7729 *10^-6 m*K (CODATA) als der Wienschen Verschiebungs-Konstante. Selbige erhält man per Ableitung der Planckschen Strahlungsformel (s. Wikipedia) gem.
b = hc/(kB*x) (A)
mit
x/(1-e^-x) -5 = 0 (B)
x = 4,9651142317443. (C)
Vorteilhafter Ausgangs-Punkt der quanten-taktisch/trigonometrische Darstellung von b ist die Formulierung
b = (2+0,8977729)*10^-3 m *K. (2)
Danach gibt sich das gebrochene additive Glied gem.
0,8977729 = 1/1,113867437968 = 1/ri1´ (3)
unmittelbar zu erkennen als Kehrwert eines real-variierten Inkugel-Radius des EDD
ri1´ = 1,113867437968 = sin54´*tan54´ (4)
54´ = 54,006383405579 = 54 +0,02/Pii7´ (5)
Pii7´= 180/7*sin(7-0,001*(2-cos137´), (6)
womit sich schließlich EDD-basiert die quanten-taktisch/trigonometrische Darstellung
b = (2+1/ri1´ )/1000 m*K = (2 + 1/(sin54´*tan54´))/1000*m*K (7)
ergibt.
22.09.18 Wiensche Verschiebungs-Konstante per quanten-taktisch/trigonometrischer EB-G
Ausgehend von (3) erhält man
0,8977729 = 1/1,113867437968 = 1/ri1´ (3)
0,8977729 = 1/(sin54,006383405579*cos54,006383405579). (8)
Weiter gilt
54,006383405579 = 54/cos 0,880938478253138, (9)
womit sich in Verbindung mit (8)
0,8977729 = 1/(sin(54/cos0,880938478253138)*cos(54/cos0,880938478253138)) (10)
ergibt. Daraus folgt schließlich die quanten-taktisch/trigonometrische EB-G
x = 1/(sin(54/cosx´)*tan(54/cosx´)) (11)
mit der Feinapproximation
x´/x = cos(10+1/x). (12)
Betrachtet man nun das der EB-G zugrundeliegende Quadrat/Dreieck mit der Diagonale/Hypotenuse d=c = 2^0,5*0,8977729 = 1,269642611111024424, so führt dies zu
1,269642611111024424 = 2- log (2*2,687369557828438615) (13 a)
1,269642611111024424 = (2-log (2*(44/43)^43)))*cos 0,174586233484695097 (13 b)
1,269642611111024424 = (2-log (2*(44/43)^43)))*cos(Pie1,5´/18)(13 b)
Pie1,5/18 = 3,142552202724511746/18 =20/3*tan1,5´, (14)
womit man gem.
(2-log (2*(44/43)^43)))*cos(20/3*tan1,5) = 0,8977729 (15)
erhält.
21.09.18 Plancksche Strahlungsformel: Maximumsfrequenz fmax per EB-G
Für die Maximumsfrequenz gilt per Ableitung der Planckschen Strahlungsformel mit
x = h fmax /kBT . (1)
die Gleichung
(3-x)*e^x = 3 (2)
Damit erhält man
νmax = 0,5878925757645*10^11*T *(s*K)^-1 = νmax“*10^11*T *(s*K)^-1. (3)
Die quanten-taktisch/trigonometrische Formulierung des VF
νmax“ = 0,5878925757645 = sin36,00760117329238055 (4)
führt mit der Gleichung
36+0,01*sin(49,47454246667354) = 36/cos(1/0,8493985347498074) (5)
zu der EB-G
36+0,01*sinx -36/cos(1/(0,8+x´/1000)) (6)
x´ = x-0,1*sinx. (7)
3.10.18 EB-G der Strahlungsleistung eines Schwarzen Körpers bei Normtemperatur
Für die Strahlungsleistung eines 3-dimensionalen Strahlers gilt allgemein
P = ԑ(T) *σ *A*T^4, (1)
wo ԑ den Emissionsgrad, σ die Stefan/Boltzmann-Konstante, A die Fläche des Strahlers und T die absolute Temperatur bezeichnen. Für ideale Schwarze Strahler mit einem Absorptions- und Emissionsgrad = 1 geht (1) über in
P = σ*A*T^4. (2)
Der Wert der Stefan/Boltzmann-Konstante beträgt aktuell gem.
σ = 2Pi^5/15*kB^4/(h^3*c^2) = (3 a)
σ =40,8026246380375273*3,63356664923/(290,91632204452463*8,9875517873681764)* 10^(86-92) (3 b)
σ = 5,670374419*10^-8 (J/(s m^2 K^4) =W/(m^2 K^4)) (3 c)
und experimentell ermittelt
σ = (5,670367+- 0,000 013) 10^-8 W/(m^2 K^4). (3 b)
Nachfolgend werde ich nun ein übriges Mal zeigen, dass ganz offenbar tiefer liegende Zusammenhänge zwischen den relevanten physikalischen Größen existieren müssen.
Dazu wird die Stefan/Boltzmann-Konstante gem.
σ = 0,5670374419*10^-7 J/(s m^2 K^4) (4 a)
σ = σ” *10^-7 J/(s m^2 K^4) (4 b)
zunext quanten-taktisch /trigonometrisch formuliert. Die weitere Betrachtung beschränkt sich danach auf den Vorfaktor σ” = 0,5670374419. Der Vorfaktor der Strahlungs-Leistung ist damit bei Normtemperatur T= 273,15 K gegeben durch
P“ = σ“ *T0“^4 = 0,5670374419*2,7315^4 (5 a)
P” = 0,5670374419*5 5,6678975630100625 = 31,565782230080469904. (5 b)
Das führt unmittelbar zu der EB-G
x*(50+10*x´) = 31+x“ (6 a)
x*(50+10´*x) = 31+1“*x, (6 b)
die per Umstellung übergeht in die quadratische Gleichung
x^2 +(50-1“)/10´ *x-31/10´= 0, (7)
die bereits für 10´=10 und 1” =1
x0 = σ ” = 0,5670349683 (8)
liefert. Mit den Feinapproximationen
10´= 10*cos(1+ln2) (9)
und
1“ =1-1/452 (10)
ergibt sich der der theoretische Wert gem. (3).
Mit
T0“ = (31/ σ“+1´)^0,25 (11)
und
T0“ = (50+10´* σ“ )^0,25 (12)
ist auch der VF der Normtemperatur mit σ“ festgelegt.
Zugleich kann auch der VZ der Strahlungsleistung bei Normtemperatur gem.
P“ = Pi´^3 + σ “ (13)
Pi´ =Pii1´= Pi/(1,00008+10^-6*cos10´) (14)
Pi-basiert per σ“ dargestellt werden.
4.10.18 Urgründige 4/Pi´-Darstellung der Strahlungskonstante 3-dimensionaler Schwarzer Strahler
Die vorangegangenen Betrachtungen legen einen tieferen Zusammenhang der mit der Strahlungsleistung verknüpften Naturkonstanten nahe. Die sog. Strahlungskonstante
a3 = 8Pi^5/15*kB^4 /(c*h)^3 (1 a)
des 3-dimensionalen Schwarzen Strahlers enthält den Term
kB^4 = 1,3806494^4*10^-92 J K^-1 = 3,633566649232228 *10^-92 J^4 K^-4 (2 a)
kB^4 = (kB“)^4 *10^-92 J^4 K^-4 (2 b)
im Zähler und den Term
(c*h)^3 =(2,99792458*6,62607015)^3 * 10^-78 (m s-1 J s )^3 = 0,7838450084421221686*10^-74*J^3 m^3 (3 a)
(c*h)^3 = (c”*h”)^3 /10^4*10^-74*J^3 m^3 (3 b)
im Nenner. Die VF beider Terme können in der Tat gem.
(c”*h”)^3 /10^4 = 0,7838450084421221686 = 1/(1+0,27576241378060438574) (4 a)
(c”*h”)^3 /10^4 = 1/(1+x) = Pi´/4 (4 b)
und
(kB“)^ 4 = 3,633566649232228 = 1/0,27521168497385339713
(kB“)^ 4 = 1/x´ = 1/(4/Pi´-1) (5)
x/x´ = 0,27576241378060438574/0,27521168497385339713 (6 a)
x/x´ = 1,00200110982498185291 = 1,0020011+(1-1/57´)/10^-8 = 1´(6 b)
feinapproximativ auf einen urgründigen Modell-Parameter zurückgeführt werden. Selbiger erschließt sich gem.
1,27576241378060438574 = 4/3,13538003376848867445 = 4/Pii6´ (6 )
Pii6´= 30*cos 84,0009099983851641 = 30*cos(84,0009+cos(1´/105) (7)
UQ/UK = 4*d/(Pi´*d) = 4/Pi´ (8)
AQ/AK = d^2 /(Pi´*d^2/4) = 4/Pi´ (9)
als Verhältnis von Quadrat- zu Inkreis-Umfang sowie Quadrat- zu Inkreis-Fläche mit real-variiertem
Pii6´. Die Strahlungskonstante ergibt sich danach schlussendlich urgründig zu
a3 = 8π^5/15*kB^4 /(c*h)^3 = 8π^5/15*1´*(1/x+1)*10^(74-92) (1 b)
a3 = 8π^5/15*kB^4 /(c*h)^3 = 8π^5/15*1´*4/(4-Pi´)*10^-18 J m^-3 K^-4 (1 c)
a3 = 7,56573325028*10^-16 J m^-3 K^-4. (1 d)
Die Stefan/Boltzmann-Konstante erhält man damit gem.
σ = a3 *c/4 = 7,56573325028*2,99792458/4*10^(8-16) W m^-2 K^-4 (10 a)
σ = 5,67037441918*10^-8 W m^-2 K^-4. (10 b)
4.11.18
Die Darstellung des VF der Strahlungskonstante als Produkt von 3 Faktoren gem.
a3“ = (8π/c“^3) *(kB“^4/(15*ha“^3)) *π^4 (11 a)
führt zu
a3“ = tan43,008205*1/(15*0,8´)*π^4 (11 b)
a3“ = tan43,008205* π^4 /(12´) (11 c)
und
a3“ = 2*1´*tan43,008205* π^4/24 = 2*1´ *tan43,008205* V8D (12)
mit
0,8´= 12´/15 = 0,8006357117627 = 0,80+0,002/3,14607990186 = 0,80+0,002/Pie4´ (13)
Pie4´= 3,14607990186 = 45*tan86,0008´ (14)
1´= 12/12,0095356764405 = 12/(15*0,8´). (15)
13.11.18 Pi-basierte urgründige Darstellung der Stefan/Boltzmann-Konstante
Die Stefan/Boltzmann-Konstante ist gegeben durch
σ = 2Pi^5*kB^4/(15h^3*c^2) = 0,567037441918*10^-9 Wm^-2*k^-4. (1)
Aus quanten-taktisch/trigonometrischer Sicht sollte, wie zuvor bereits dargelegt, eine auf urgründigen Konstanten beruhende Modell- Darstellung existieren. Dem wird nachfolgend nachgegangen. Da die Ganzzahl-Exponenten der in (1) auftretenden sogenannten Natur-Konstanten bereits durchgängig auf urgründige Modell-Konstanten zurückgeführt wurden, beschränkt sich die Betrachtung auf den Vorfaktor. Ausgangspunkt ist dabei der vortrefflich einfache Ansatz
0,567037441918 = 12,567037441918-12 (2 a)
0,567037441918 = 4*3,1417593604795-12 (2 b)
0,567037441918 = 4*Pie1´-12 (2 c)
mit
Pie1´ = 3,1417593604795 = 180*cot( 89,0000484722948) (3 a)
Pie1´ = 3,1417593604795 = 180*cot( 89/cos0,06´) (3 b)
und der VEDD-basierten Feinapproximation
0,06´ = 0,06/(1+(8-VEDD´)/100) (4 a)
0,06´= 0,06/(1+(8-5*cos36´/(tan36´)^2)/100)), (4 b)
der den VF der Stefan/Boltzmann-Konstante urgründig feinapproximativ auf ein externes Pie1´ bzw. auf eine dadurch gegebene Einheitskugel-Oberfläche zurückführt.
5.10.18 Verknüpfung der VF von Normtemperatur, Schwarzkörper-Strahlungskonstante und EDD-Oberfläche
Zuvor wurde die Gleichung
(7+sin34)*T0“ = AEDD´ =15*tan54´ (1)
aufgezeigt, die den VF der Normtemperatur T0“ =2,7315 mit der EDD-Oberfläche verknüpft. Der Proportionalitäts-Faktor (7+sin34) = 7,5591929034707 kommt
7 + σ“ = a3“ = (7 + 0,567037442), (2)
d.h. dem VF der Strahlungskonstante 3-dimensionaler Schwarzer Strahler a3“, sehr nahe. Das Produkt
2,7315*(7 + 0,567037442) = 20,669362772823 = 15*tan 54,031165925884 (3 a)
T0“*(7+ σ“) = T0“ *a3“ = AEDD´ = 15*tan54´ (3 b)
erweist sich dabei als geringfügig real-variierte EDD-Oberfläche. Danach stellt sich der VF der Normtemperatur gem.
T0“ = AEDD´/(7+ σ“) = AEDD´/a3“ (4)
als Verhältnis EDD-Oberfläche/Strahlungskonstante dar. Die real-variierte EDD-Oberfläche erschließt sich wie folgt wiederum per EB-G. Es gilt gem. (3 a)
15 *tan 54,031165925884 = 15*tan54 +1/(42+0,31198481) (5 a)
15*tan(54+x/10)=15*tan54+1/(42+x´), (5 b)
womit man mit x= x´
T0“ *a3“ =20,669362980848 (6)
erhält. Mit a3“ = 7,567037442 ergibt sich damit
T0“ = 2,731500027. (7)
Danach sind die Vorfaktoren der Normtemperatur und der Strahlungskonstante 3-dimensionaler Schwarz-Körper ganz offenbar mit der EDD-Oberfläche verknüpft.
5.10.18 Eruierung von ha“/(kB“ *T0“) per EB-G und Zusammenhang mit den VF der Strahlungskonstante a3“ und der Stefan/Boltzmann-Konstante σ “
Die Plancksche Strahlungsformel enthält im Nenner die Exponentialfunktion e^(hν/kB*T), deren Exponent den Quotient h/(kB*T) enthält. Wie zuvor dargelegt, besteht zwischen den Größen der Strahlungsformel ein tieferer Zusammenhang. Das zeigt sich in der Tat auch am Beispiel von
h/(kB*T) = ha“/(kB“ *T“) *10^-13 s (1)
für Normbedingungen gem.
ha“/(kB“ *T0“) = 6,62607015/(1,380649*2,7315) =1,7569991116113 =1/0,569152251353687 (2 a)
ha“/(kB“ *T0“) = 1+a3“/10´ = 1´/σ“, (2 b)
wonach selbiger Quotient wiederum in enger Beziehung zu den Vorfaktoren der Strahlungskonstante a3“ und der Stefan/Boltzmann-Konstante σ“ steht. Überdies folgt aus (2 a)
die EB-G
1,7+x´/10 =1/x (3)
x´ = x+0,001*sin57´ (4)
57´ = 57,02 +0,001/ln10´, (5)
die per Umstellung übergeht in die quadratische Gleichung
x^2+(17-0,001*sin(57´))*x - (10+0,017*sin(57´)= 0. (5)
Die Feinapproximation
(17-0,001*sin(57´)) = 8,499580567620428 (6 a)
(17-0,001*sin(57´) = 8,5*cos 0,56919480862127 = 34/4*cos (σ“)´ (6 b)
steht wiederum in enger Beziehung zum VF der Stefan/Boltzmann-Konstante σ und zur Oberfläche 34 der postulierten Exponentialkugel. Die Feinkorrektur erfolgt dabei über den ganzzahligen Einheitsbogen-Winkel 57, womit zugleich auch der Koeffizient 10+0,017*sin(57´) bestimmt ist.
6.10.18 Plancks Strahlungsformel aus quanten-taktisch/trigonometrischer Sicht
Plancks Strahlungsformel
U(f,T) df = g(f) df*Em(f,T) = 8Pi f^2/c^3 *hf/(e^(h f/kB T)-1) df (1)
die die Energiedichte eines SchwarzKörper/Hohlraum-Strahlers im Frequenzintervall zwischen f und f+df beschreibt, setzt sich aus den Faktoren Zustandsdichte pro Volumeneinheit
g(f) df = 8Pi f^2 /c^3 df (2)
und der von Planck eingeführten mittleren Schwingungsenergie
Em = hf/(e^(h f/kB T)-1) (3)
zusammen. Nachfolgend wird die Natur der Zustandsdichte aus quanten-taktisch/trigonometrischer Sicht etwas tiefergehend ausgeleuchtet. Dazu wird diese zunext auf die Planckskala bezogen formuliert
V g(f)df = D(f) df = 8Pi f^2/c^3 V df (4 a)
V g(f) df = (2*4Pi* tp) (V/rp^3) (f/fp)^2 df, (4 b)
wodurch ein in der Planckzeit/Frequenz ausstrahlender Planck-Körper als Referenz erscheint. Die quanten-taktisch/trigonometrische Betrachtung des Zahlenwerts des konstanten VF der Zustandsdichte
g(f)“ = 8Pi/ca"^3 (5 a)
g(f)“ = 25,13274122871834591/26,94400241737398954 = 0,93277683246169436875 (5 b)
g(f)“ = tan43,008020500183 (5 c)
offenbart unmittelbar einen vorzüglich einfachen Bezug zum hier definierten grundwinkel-basierten planckzeitlichen Netzwerk/Raster. Danach kann die Zustandsdichte in der Tat auf ein GoldenWinkel/43´;47´;90 -Elementardreieck zurückgeführt werden. Dies erfährt eine weitere Unterstützung gem.
g(f)“ * ha“= 8Pi/c^3 *ha“ (6 a)
g(f)“ * ha“= 0,93277683246169436875*6,62607015 (6 b)
g(f)“ * ha“= 10*0,61806447261859841 = 10*(2*sin54,00148577068194-1) (6 c)
bei Hinzunahme des VF von h aus dem Energiefaktor. Danach stellt sich g(f)“ * ha“ dar als 10-facher Teil des Ergänzungsstücks 0,618… zum GoldenSchnitt 1,618… .
31.10.18 Die gem.
D(f) df = 4*2Pi (f/fp)^2*(V/rp^3)* df/fp (4 c)
auf einen fiktiven Planckstrahler bezogene Anzahl der Zustände Im Frequenzintervall von f bis f+df ist in der Tat per Division durch das 6-dimensionale Planckstrahler-Ereignisvolumen
V6d = rp^3*fp^3 = c^3 (E)
eine dimensionslose Zahl.
7.10.18 Mit
λ = c/f (7)
und
dλ = c/λ^2 (8)
geht (1) über in die λ-Darstellung
U(f,T) dλ = 8Pi hc^2/ λ^5 *1/(e^( λ h c/kBT)-1) dλ. (9)
Die Ableitung liefert dann für die Wellenlänge des Maximums
λmax = hc/(x kBT). (10)
mit
x/(1-e^-x) - 5 = 0 (11)
x = 4,965114231744. (12)
9.10.18
Die Bestimmung des real-variierten Grundwinkels 54´ gelingt mit
x = 0,148577068194 -sin 8,544474580558 = sin(e*Pie2`) (13 a)
x = 0,148577068194 -sin( e*3,1433365337992711) (13 b)
Pie2´= 3,1433365337992711 = 90*tan2,00029711701940923 (14)
wiederum per EB-G
x = sin(90*tan(2+0,002*x) (14)
x0 = 0,148577070933. (15)
10.10.18
Die mit dem Volumen multiplizierte und auf die Planckeinheiten lp;rp und fp bezogene Energiedichte stellt sich gem.
V*U(f,T) df =(2*4Pi*(V/lp^3)*(f/fp)^3*h*df/(e^(hf/kBT)-1) (16)
vorzüglich anschaulich als auf einen fiktiven Planckkörper-Strahler bezogen dar.
Setzt man x:= hf/kBT und integriert
(kBT/h)^4 * x^3/(e^x-1) dx (17)
über alle Frequenzen von 0 bis unendlich, so erhält man
(kBT/h)^4*Pi^4/15. (18)
Damit ist die Strahlungsleistung gegeben durch
P = (2*4Pi*h/c^3)*(kB/h)^4*Pi^4/15*T^4 (19 a)
P = a3*T^4 = 4σ/c *T^4, (19 b)
wo
a3 = (2*4Pi*h/c^3)*(kB/h)^4*Pi^4/15 (20 a)
a3 = 0,6180644726185984*18,84989836787925*6,493939402266829*10^-(57-40) (20 b)
a3 = 7,56573325028*10^-16 J m^-3 K^-4 (20 c)
die herkömmliche Strahlungskonstante und σ die Stefan/Boltzmann-Konstante des 3-dimensionalen Hohl/Schwarz-Körpers bezeichnen. Eine vorzüglich einfache quanten-taktisch/trigonometrische Darstellung von a3 gelingt wie folgt per Grundwinkel/Pi-Basierung
a3 =(2*sin54´-1)*10^-57*10^(40+4/Pi´)*Pi^4/15 (21 a)
a3 =(2*sin54´-1)*10^(4/Pi´)*Pi^4/15*10^-17. (21 b)
Pi´= 3,1364947313 = 180/5,6549099064*sin 5,6549099064 (22)
Danach sind die Schwingungs-Moden, die die Strahlungsleistung bestimmen, offensichtlich durch das grundwinkel-bestimmte Raumzeit-Netzwerk exzellent einfach festgelegt. Eine Feinapproximation des real-variierten Grundwinkels 54´des GoldenSchnitts wurde zuvor bereits angegeben. Der Winkel in (22) kann gem.
5,6549099064 = 1,8*3,14161661467 = 1,8*Pi/ cos(sin13´) (23)
Pi-basiert vortrefflich einfach feinapproximiert werden. Damit erhält man
Pi´=100/(Pi/cos(sin13))*sin (1,8*Pi/cos(sin13)). (24)
11.10.18 (kB/h)^4 : Fiktive Interpretation und EB-G
Der mittlere Faktor in (20)
(kB/h)^4 = (1,380649/6,62607015)^4 *(10^11)^4 (26 a)
(kB/h)^4 = 0,2083661912333^4*10^44 (26 b)
(kB/h)^4 =10^(40+4/Pi´) (K*s)^-4 = (10^(10+1/Pi´))^4 (K*s)^-4 (26 c)
geht bzgl. seiner Exponenten gem.
kB/h = R/(NA*h) = R/(NA“*ha“)*10^34/10^23 = 10^11 (27)
kann hauptsächlich auf die Teilchenzahl NA und die potenzierte 34er-Oberfläche der postulierten Exponentialkugel zurückgeführt werden. Selbiger kann danach fiktiv im Wesentlichen als eine Art potenziertes Oberflächen-Element pro Teilchen und K*s aufgefasst werden. Die Bestimmung des Vorfaktors
kB“/ha“ = R/(NA“*ha“) = 0,2083661912333 (28 a)
kB“/ha“ = 10^-0,6811727467543 = 10^-sin42,93535372065 = 10^-43´ (28 b)
gelingt wie folgt ausgehend von der Gleichung
(kB/h)^4 = 10^(44-4*0,6811727467543) = 10^(40+4/Pi´) (26 d)
(kB/h)^4 = 10^(44-2,7246909870172) = 10^(41+0,2753090129828). (26 e)
Diese führt schließlich zu der faszinierend einfachen EB-G
44-10*x´ = 41 + x (27)
und damit zu
x = (3+10*(x-x´))/11 (28)
mit der Feinapproximation
x-x´= 0,00283991428108 = 0,034/(12-1/36´). (29)
11.10.18 Beziehung Wellenlänge der maximalen Strahlungsintensität und dem 5-dimensionalen Planck-Ereignisvolumen V5DPL.
Die auf einen fiktiven Planckkörper-Strahler bezogene Zustandsdichte gem. (4 b) enthält das Plank-Volumen (lp;rp)^3. Das legt die Vermutung nahe, dass dieses weitere Faktoren der Energiedichte/Strahlungsintensität bestimmt. In der Tat kommt der gem.
λmax = hc/( xmax kBT) = 2,897,8 μm K/T (30) (s. Wikipedia : Wiensches Verschiebungsgesetz)
die Wellenlänge des Maximums der Strahlungsintensität bestimmende Faktor
xmax = 4,9651142317444 (12)
dem früher definierten 5-dimensionalen Planck-Ereignisvolumen (berechnet mit hierigen 137´-Modellwerten)
V5DPL = mP“*rp“^3*tpb“ = 2,1759689606*1,6166006985^3*0,5392399493 ()
V5DPL = 4,957275341408 (31)
sehr nahe. Danach bestimmt das Planck-Ereignisvolumen V5DPL offenbar das Wellenlängen-Maximum der Strahlungsintensität. Die Differenz
xmax - V5DPL = 4,9651142317444 -4,957275341408 (32 a)
xmax - V5DPL = 0,0078388903364 = 0,01*sin(50+1,6180429467734) (32 b)
xmax - V5DPL = 0,01*sin(50+2*sin54´) (32 c)
54´ = 54,0004366047195 = 54+0,001/ln10´ (33)
stimmt wiederum in der Ziffernfolge annähernd überein mit dem ebenfalls in die Energiedichte eingehenden Faktor
(ca”*ha”)^3= 7838,4508442. (34)
Die bei
fmax = 0,58789*10^11 Hz K^-1 *T (35)
liegende Frequenz des Intensität-Maximums erweist sich gem.
f“max = 0,58789 = sin36,00741873647 (36)
wiederum als grundwinkel-bestimmt.
12.10.18
Die Ableitung der Frequenz-Darstellung führt mit x:=hf/kT zu der Gleichung
xmax = 3*(1-e^- xmax) (37)
mit der Lösung
xmax = 2,8214393721220788934031913302945. (38)
Für die Frequenz des Intensitäts-Maximums folgt damit
fmax = xmax*k/h*T = 2,821439372122*1,380649/6,62607015 *10^11 Hz K^-1*T (39 a)
fmax = 0,58789257576 *10^11 Hz K^-1*T. (39 b)
Der grundwinkel-basierte Vorfaktor der Maximums-Frequenz
0,58789257576 = sin36,007601173 (40)
kann gem.
0,5878925757646824946606=sin(36,00760+(2*0,0586654151552)/10^5) (41 a)
x=sin(36,0076+(2*x/10)/10^5) (41 b)
wiederum per EB-G bestimmt werden.
12.10.18 Maximale Photonenrate (s. Physik.cosmos-indirekt.de/Physik-Schule/Wiensches_Verschiebungsgesetz)
Frequenz-Darstellung der spektralen spezifischen Ausstrahlung (Abstrahlungsrate der Photonen)
M(f,T) = (2Pi/c^2)*x^2/(e^x-1) (42)
x:= hf/kBT (43)
Ableitung->
2*(1-e^-x) -x =0 (44)
xmax = 1,5936242600 (45)
fmax= xmax *kB/h*T = 3,320578*10^10 Hz K^-1 *T (46)
Die spektrale Photonenrate des Maximums ist proportional zu T^2.
Wellenlängen –Darstellung der spektralen spezifischen Ausstrahlung (Abstrahlungsrate der Photonen)
M(λ,T) = (2Pi/c^2)*x^4/(e^x-1) (47)
x:= hc/(λ*kBT) (48)
Ableitung->
4*(1-e^-x) -x =0 (49)
xmax = 3,9206903948 (50)
λmax = hc/(xmax*kBT) = 3669,7 μm K/T. (51)
Die spektrale Photonenrate des Maximums ist proportional zu T^4.
13.10. 4.39 Beziehung zwischen λ max und tpb” sowie f max
Mit der zuvor gefundenen Beziehung
xmax = 4,9651142317444 = 1´*4,957275341408= 1´*V4DPl (52)
und
h*c = 0,2Pi*(mPa“*rpa“^3/tpb“^2)*10^-26 J m (53 a)
h*c = 0,2Pi*(V4DPl/tpb“^3)*10^-26 J m (53 b)
sowie
V4DPl =mpa“*rpa“^3*tp“ =4,957275341408 ()54
erhält man
λmax = hc/(xmax*kBT) = 0,2Pi/(1´*tpb“^3*kB“) *10^-3 m/T (55 a)
λ max = 2Pi/(1´*tpb”^3*kBT)) *10^-3 m/T (55 b))
λmax = 0,2*Pi/(0,1570479894*1,380649)= 2897,77195 μm /T (55 c)
λ max = 0,2*Pi/(0,1570479894*1,380649)= λa"max *10^3*μm /T (55 c)
1´= (1+0,001*logc´) (56)
Die Wellenlänge des Intensitätsmaximums ist gem.
λamax" = 2,89777195 =1/0,5874459282^2 = 1/(cos 54,024027774)^2 (57 a)
λamax" = 1´/(0,58789257576^2) =1´/fb“max^2. (57 b)
in gleicher Weise wie die entsprechende Frequenz fb“max grundwinkel-bestimmt.
14.10.18 Quanten-taktisch/trigonometrische Eruierung der Maximums-Wellenlänge /Frequenz der Photonenrate
Die VF der Maximums-Wellenlänge und der Maximums-Frequenz der Photonenrate können wie folgt ebenfalls in Beziehung zu einem real-variierten VF der Planckzeit in Beziehung gebracht werden. Die Differenz der VF ist gegeben durch
λmax" –f max" = 3,669702865-3,32057417= 0,349128695 (58 a)
λmax" – f“max = 0,5908711323^2 = (sin 36,2188507877)^2 (58 b)
λmax" – f“max = (sin(36+ tpb*^3 *kB))^2 = (sin36´)^2 (58 c)
tpb* =1,70021880969/Pi (59 a)
tpb* =(1,7+0,001*tpb´^3*kB)/Pi =1,7´/Pi. (59 b)
Die Feinkorrektur von 1,7´= 1,7+x/1000 ergibt sich aus der EB-G
x -((1,7+x/1000)/Pi)^3*1,380649. (60)
Das Produkt
λmax" *f“max = 3,669702865*3,32057417= 12,18552054509 = 12´ (61 a)
ist gem.
λmax" * f“max = 12 + 1,00040089´/5,392399493 =12 + 1´/tpa“ (61 b)
wiederum mit einem real-variierten Planckzeit-VF verknüpft. Aus (58) und (61) folgt schließlich die quadratische Gleichung
fmax^2+(sin36´)^2*fmax -12´. (62)
Damit ist auch λ“max bestimmt. Die ganzzahligen Exponenten stellen sich mit der oben gewählten VF-Definition gem.
λ max = 3,669702865*10^-3 m K/T (63 a)
λ max = 3,669702865*10^-s2 m K/T (63 b)
und
fmax = 3,32057417*10^10 Hz K^-1* T (64 a)
fmax = 3,32057417*10^s4 Hz K^-1* T (64 b)
wiederum als Summen der natürlichen Zahlen dar. Die obigen Betrachtungen zeigen, dass die Strahlungsformeln sich letztlich offenbar auf einen Planckkörper-Strahler zurückführen lassen.
15.10.18 Quanten-taktisch/trigonometrische Darstellung der VF der Photon-Energie (hfp)“ und von (hfp/tB)“
Die Schwingungs-Energie des Planck-Photons ist mit der 137*-ModellFrequenz
fp = 1,8544620095 * 10^43 s^-1 (1)
gegeben durch
E(fp)= h*fp = 6,62607015*1,8544620095 *10^9 J (2 a)
E(fp) = 12,287795365*10^9 J = E(fp)“*10^9 J . (2 b)
Untergliederung des VF gem.
E(fp)“ = 12 + 0,287795365 (3)
in die Ganzzahl 12 und den Bruch 0,287795365 führt zu
0,287795365 = sin(16+0,726013681897 )(4 a)
0,287795365 = sin(16+cot54,019837020756). (4 b)
Die Bestimmung des Grundwinkels 54´ gelingt mit
0,726013681897 = cot54,019837020756 (5 a)
wiederum per EB-G
0,726013681897 = cot54/(1+0,00072842443818) (5 b)
x = cot54/(1+0,001*x´) (5 b)
mit der Feinapproximation
x´= 0,00100333`*x. (6)
Die Umrechnung in den zugehörige VF der thermischen Energie erfolgt mit dem Faktor
(h*fp/kB)” = 6,62607015*1,8544620095/1,380649 (7 a)
(h*fp/kB)” = 8,900013953914 =8,9+0,00001*(sin36´+cos36´) (7 b)
(h*fp/kB)” = 89´/10, (7 b)
der sich feinapproximativ als per Grundwinkel korrigierte Fibonacci-Zahl 89 darstellt.
1.11.18 Grundwinkel-basierte Verknüpfung der Zustandsdichte der Schwingungen sowie der Lichtgeschwindigkeit mit dem Raumzeit-Netz/Raster
Die Anzahl der erlaubten Schwingungszustände im Frequenzintervall (f,f+df) ergibt sich bezogen auf einen fiktiven Planckstrahler gem.
D(f)*df = V*g(f) *df = 4*2Pi *V*f^2/c^3 df (1 a)
D(f)*df = 8Pi*V/lp^3*(f/fp)^2 *df/fp (1 b)
als Zahlfaktor. Die Potenz der Lichtgeschwindigkeit ist danach durch das Verhältnis V/lp^3 auf 3 festgelegt. Der dimensionslose Zahlenfaktor erfordert damit das Produkt f^2*df. Der konstante Vorfaktor g(f)“ kann, wie zuvor bereits gezeigt wurde, gem.
g(f)“ = 8Pi/ca“^3 = 8Pi/2,99792458^3 =0,93277683246169436875 (2 a)
g(f)“ = tan 43,008020500183126925 = tan43´ (2 b)
43´-grundwinkelbasiert eindeutig auf das Raumzeit-Netz/Raster zurückgeführt werden. Der Faktor 8Pi = ca“^3 *tan43´ ist damit ebenfalls festgelegt. Für die Energie im Frequenzintervall (f, f+df) erhält man danach
U(f,T) = V/v1*tan43´ (f/(f1*10^8))^3 h*df/e^(hf/kBT-1) (3)
v1 = 1m^3 (4)
f1 = 1/s, (5)
wobei der Faktor V/v1*tan43´ (f/(f1*10^-8))^3 wiederum als dimensionsloser Zahlfaktor formuliert wird, der das Volumen/Frequenz-Verhältnis bzgl. einem fiktiven Planckstrahler beschreibt.
Gem. (2) können 8Pi und ca“^3 als Seiten in einem 43´;47´;90-Elementardreieck des Raumzeit-Netz positioniert werden. Für den VF der Lichtgeschwindigkeit ergibt sich damit die Darstellung
ca“ = 2*(Pi/tan43,008020500183126925)^1/3. (6)
Die feinapproximativ als Fibonaccizahlen-Verhältnis 8/5 dargestellte Feinkorrektur des Winkels
0,8020500183126925 = 0,5*8´/5 = 4´/5 (7 a)
0,8020500183126925 = 4,0102500915634625/5 (7 b)
führt dabei mit
4,0102500915634625/4 = 1,002562522890865625 (8)
und der daraus folgenden EB-G
4,01+x = 4*(1+10´*x) (9)
10´= 39+Pii4´^2/10 = 39+(45*sin4´)^2/10 (11)
zu
x = 0,01/(39+Pii4´^2/10) = 0,01/(39+(45*sin4´)^2/10). (12)
2.11.18
Urgründige Bestimmung der Planck-Konstante sowie der Schwarzkörper-Strahlungsenergie per Grundwinkel-Basierung
Zuvor wurde die Beziehung
ha“ *tan43´ = 10*(2*sin54´-1) = 10*(2*cos36´-1) (13)
aufgezeigt. Daraus folgt
ha” = 10*(2*cos36´-1)/tan43´. (14)
Setzt man nun 43´ =43, so ergibt sich
ha” = 10*(2*cos36´-1)/tan43 = 10*(2*cos36,00696 -1)/tan43, (15)
wonach der VF der Planck-Konstante auf die Grundwinkel 36´ und 43° des Raumzeit-Netzwerks zurückgeführt werden kann .(6 = periodisch) Da der ganzzahlige Betrag-Exponent als Oberfläche AXK =34 der postulierten Exponentialkugel gegeben ist, ist die Planck-Konstante per Q-TTRGG somit gem.
h/ (Js) = ha” *10^-AXK = ha” *10^-34 (16 a)
h/(Js) = 10*(2*cos36,00696 -1)/tan43 * 10^-34 = 6,62607015*10^-34 (16 b)
vollständig festgelegt. Mit (15) geht
U(f,T)/(J) = tan43´* V/v1* (f/(f1*10^8))^3 h*df/e^(hf/kBT-1) (3)
über in
U(f,T) /(J) =1´*(2*cos 36,00696 -1)*10^-57 *V/v1*(f/f1)^3*df/e^(hf/kBT-1) (17)
1` = tan43,008020500183126925/tan43, (18)
wonach der konstante Energie-Vorfaktor urgründig feinapproximativ nur von einem real-variierten Grundwinkel 36´ und dem ganzzahligen Einheitsbogen-Winkel 57° bestimmt wird.
2.11.18 Eruierung des Verhältnis von Planck- und Boltzmann-Konstante per Fibonaccizahlen-Verhältnis
Der in der Verteilungsfunktion
1/(e^(hf/kBT - 1) (19)
auftretende Exponent hf/kBT enthält das konstante Verhältnis
h/kB = 6,62607015/1,380649 * 10^-11 K*s (20 a)
h/kB = 4,79924307336622* 10^-11 K*s. (20 b)
Das Verhältnis
kB”/ha" = 1,380649/6,62607015 = 0,2083661912333 (21 a)
1,380649/6,62607015 = log 1,61572033616365154 = log (21,00436437012747/13) (21 b)
0,2083661912333 = log (1,00020782714892714*21/13) (21 c)
kann dabei logarithmisch feinapproximativ als Verhältnis der Fibonacci-Zahlen 21 und 13 dargestellt werden. Aus (21 c) folgt danach die EB-G
x = log(1+x´/1000)+log(21/13) (22)
x´ = x*cos4,12´. (23)
Daraus ergibt sich dann die feinapproximative Darstellung
ha” = kB”*(1-0,001/ln10*cos4,204´)/log(21/13) (24)
sowie das Verhältnis
ha”/ kB” = (1-0,001/ln10*cos4,204´)/log(21/13). (25)
6.11.18
Alternativ ergibt sich mit (21) die EB-G
x-21/13*(1+0,001*logx) x-21/13*(1+0,001*log(x´)) (26)
mit
x´ = x-1/499´. (27)
3.11.18 Gemeinsame Bestimmung der Planck- und der Boltzmann-Konstante per Q-TTRGG
Im hierigen Modell werden die Vorfaktoren der Natur-Konstanten als im grundwinkel-basierten Raumzeit-Netzwerk verankerte String/Saiten-Längen/Radien gedeutet, die folgedessen definitiv miteinander verknüpft sind. Dies wird nachfolgend am Beispiel der VF der Planck- und der Boltzmann-Konstante demonstriert. Die Summe der ganzzahligen Betrag-Exponenten
Xh + XkB = 34 + 23 = 57 (1)
erweist sich als ganzzahliger Einheitsbogen-Winkel 57°. Da der ganzzahlige Exponent definitiv als Oberfläche AXK =34 der postulierten Exponentialkugel festgelegt ist, ist damit auch der Exponent
XkB = 57-34 = 23 (2)
bestimmt. Das zugehörige Produkt der Vorfaktoren
ha“ * kB“ = 6,62607015*1,380649 = 9,14827712652735 (3 a)
kann gem.
ha“ * kB“ = 6 + 3,14827712652735 (3 b)
ha“ * kB“ = s3 + Pie4,5´ (3 c)
mit
Pie4,5´ = 40*tan 4,500297318959677032 (4 a)
Pie4,5´ = 40*tan(4,5+0,001*(3-1/373) (4 b)
grundsummen/Pi-basiert feinapproximativ formuliert werden. Die Summe der VF ist gegeben durch
ha“ + kB“ = 6,62607015 + 1,380649 = 8,00671915. (5)
Damit ergibt sich in Verbindung mit (3) die EB-G
8 +1,14827712652735 = 8,00671915 * 1,14257499921517167241 (6 a)
8 + 1,0049905934543422416073*x = 8,00671915 * x, (6 b)
die zu
x = 8/(8,00671915-1,0049905934543422416073) (7 a)
x = 8/7,0017285565456577583728624606527 (7 b)
x = 8/7*cos(4/Pie0,5´) (8 a)
Pie0,5´ = 360*tan(0,5+0,001/65). (8 b)
Damit erhält für die Summe der VF gem.
ha“ + kB“ = ha“ * kB“/x. (9)
Die VF erhält man dann als Wurzeln der quadratischen Gleichung
x^2 + 8,00671915*x + 9,14827712652735 (10)
x01 = ha“ = 4,003359575+2,622710575 (11 a)
x02 = kB“ = 4,003359575-2,622710575 =1,380649 (11 b)
mit den Feinapproximationen
4,003359575 = 4+0,001*(8-VEDD´) (12)
und
2,622710575 = (1+(ri1*cos1,5959´)^2/2)^2. (13)
4.11.18
Herleitung der 3d-Zustandsdichte sowie Vergleich mit der geometrischen Veranschaulichung von h und kB
Der Vorfaktor der Planck-Konstante kann gem.
ha“ = 10^34*h = 10^34*6,62607015 *10^-34 = 6,62607015 (1)
als 10^34 h-Strings/Saiten aufgefasst werden. Der ganzzahlige Betrag-Exponent stellt sich gem.
Xh = 34 = AXK = 4Pi*rXK^2 = 4Pi*(e^0,5´)^2 (2)
als Oberfläche einer Exponentialkugel dar. Selbige kann gem.
Xm + Xv + Xr = Xh = 34 (3)
in die 3 *Zustands-Größen* Masse , Geschwindigkeit und Radius bzw. Länge unterteilt werden. Für den Vorfaktor der Boltzmann-Konstante
kB = kB“ *10^-(57-34) = 1,380649 *10^-34 J/K (4)
wurde hier gem.
kB“ = 1,380649 = 1,113510784421^3 = ri1´^3 (5)
eine Darstellung als ri1´^3-Würfel eingeführt. Selbiger Würfel stellt gem.
ri1´^3 = di1´^3/8 (6)
1/8 des di1´-Würfels dar, der die EDD-Inkugel umschreibt. Der kB“/r1´-Würfel kann mithin als Oktant aufgefasst werden. Interessanterweise führt die Definition eines Impulsraums ebenfalls zur Annahme eines Oktanten. Die folgende Herleitung der Zustandsdichte, die ebendiese Annahme sowie die Positionierung der Zustände auf einer Kugeloberfläche beinhaltet, ist entnommen dem faszinierenden Lehrbuch von Klaus Stierstadt: Thermodynamik für das Bachelorstudium, 2. Auflage, p. 46 ff. und p. 344 ff.
Die Anzahl n der Halbwellen λ/2 zwischen den Behälterwänden eines würfelförmigen Körpers mit der Kantenlänge L ist gegeben durch
λn/2 = L/n (1 a)
n = 2L/ λn. (1 b)
Für den zugehörigen Impuls gilt nach de Broglie
pn = h/ λn = hn/2L. (2)
Andererseits kann der Impuls gem.
pn = h/2L*(nx^2 + ny^2 + nz^2 )^0,5 = hn/2L (3)
durch den Radius n einer Kugel im Impulsraum beschrieben werden. Gleichsetzung von (2) und (3) führt danach zu
n = 2Lf/c. (4)
Mit
dn = 2L/c df (5)
ergibt sich damit für das Volumen des positiven Oktanden (der Impuls-Kugelschale (nx, ny, nz; n>0)
dΩ = 2/8*4π*n^2 dn (6 a)
dΩ = π*(2Lf/c)^2*2L/c *df (6 b)
dΩ = π*(2L/c)^3*f^2 *df = 8π/c^3*V*f^2* df, (6 c)
wo der Faktor 2 auf 2 Polarisationsrichtungen und 1/8 auf 1/8-Volumen des positiven Oktanten zurückzuführen sind. Damit erhält man für die Zahl der Zustände bzw. der Moden im Frequenzbereich f bis f+df
D(f) df = 8π/c^3*V*f^2* df. (7)
11.11.18 Zustandsfunktion eines idealen Gasatoms aus quanten-taktisch/trigonometrischer Sicht
Die Zustandsfunktion eines idealen Gasatoms kann durch
lnΩ = 1,5*N*(ln(4Pi*e/3h^2)*m)-lnN+2/3*lnV + lnU) (1)
beschrieben werden. (s. Lehrbuch von Klaus Stierstadt, S.55)
Für Argon mit m=6,63*10^-26 kg erhält man damit für den 1. Term in der Klammer
ln(4Pi*e/3h^2)*m) = ln(11,3863123/6,62607015^2*6,63*10^42) (2 a)
ln(4Pi*e/3h^2)*m) = ln(1,72`*10^42) = ln(VEDD´/12*10^42) .(2 b)
Danach stellt sich der Vorfaktor
(4Pi/3*e*m/h^2)“ = 1,72` = 15/12*tan54´ = VEDD´/12` (3)
aus quanten-taktisch/trigonometrischer Sicht schlicht und einfach als 1/12-Oberfläche des EDD dar. Der ganzzahlige Exponent erweist sich als um 1 verminderter Grundwinkel 43 des raumzeitlichen Netzwerks.
9.11.18 Alternative Herleitung der 3d-Zustandsdichte
Zustandsdichte D(E) = Anzahl der Zustände pro Energieintervall = Ableitung der Anzahl der Zustände N nach der Energie E
D(E) = dN/dE (1)
Das kleinste reziproke Volumen, welches von einem einzigen Zustand eingenommen wird
V1 = (2π)^3/V (2)
Von N Zuständen eingenommenes reziprokes Volumen einer Kugel
VN = 4/3 π k^3 (3)
mit der Wellenzahl k als Radius der Kugel. Die Anzahl der Zustände ergibt sich damit zu
N^3d=VN/V1=4/3π k^3⋅V/(2π)^3=V/6π^2 k^3 (4)
Dispersionsrelation
ε(k) = c ℏ k (5)
k = ε /(c ℏ) (6)->
Zustandszahl
N^3d = V/6π^2 * ε ^3/(c ℏ)^3 (7)
Ableitung nach ε -> Zustandsdichte
D(ε) = d(N^3d)/dε = 3V/6Pi^2* ε^2 /(c ℏ)^3 =V/2Pi^2* ε^2/(c ℏ)^3 (8)
g(ε) = D(ε)/V = 1/2Pi^2* ε^2/(c ℏ)^3. (9)
2 Polarisations-Freiheitsgrade/Richtungen ->
2 g(ε) =1/Pi^2* ε^2/(c ℏ)^3 = 8Pi ε^2/(ch)^3 (10)
Die Integration über 8Pi/(ch)^3 *ε^3/(e^( ε /kBT)-1)*dε von 0 bis ∞
liefert dann wie im Fall der Frequenz-Darstellung für die Gesamtenergie-Dichte
u(T) = 8Pi/(ch)^3*Pi^4/15 *(kBT)^4 (11)
u(T) = Pi^5/15*(kBT)^4/(ch)^3). (12)
(Exzellente Anleitung findet man auf der Webseite: universaldenker.de)
10.11.18
u(T) =0,756573325028*10^-15*T^4 J/(m^3*K^4). (11 c)
Die Formulierung
u(T) = (Pi^2/15)*(kB/c ℏ)^3*kB T^4 (11 d)
mit reduzierter Planck-Konstante führt zu einer vorzüglich einfachen Darstellung
U(T) = (Pi^2/15) * (V/V*) * (kBT)*(T/T1)^3 (12)
mit einem fiktiven (Minimal-?)Volumen
V* = (c ℏ/kB)“^3*10^-9 m^3 = 12,007172335217*10^-9 m^3 (13)
und
T1= 1K (14)
sowie der Feinapproximation
0,00717234 = 0,01/(15*sin5,3332`)= 0,01/(sin36´+cos36´), (15)
wobei (c ℏ/kB)“ die dimensionslosen Vorfaktoren beinhaltet.
Per Integration über 2g(ε)/(e^ ε/kBT-1) d ε erhält man die Photonendichte
n(T) = 2*ξ(3)/Pi^2*(kB/c ℏ)^3*T^3 (15 a)
n(T) = 2*1,20205690316/Pi^2*(kB/c ℏ)^3*T^3 (15 b)
und
N(T) = 2*ξ(3)/Pi^2*(V/V*)*(T/T1)^3 . (16)
Neuere Untersuchungen deuten auf Abweichungen der Strahlenformeln bei sehr kleinen Volumina hin, die zu einem wesentlichen Teil wahrscheinlich auf die Integration anstelle der diskreten Summation zurückzuführen sein könnten.
14.11.18
Herleitung der Zustandsdichte des freien Elektronengas (s. universaldenker.de/theorien/1095)
Zustandsdichte D(ε) = Anzahl der Zustände pro Energieintervall = Ableitung der Anzahl der Zustände N nach der Energie ε
D(ε) = dN/d ε. (1)
Das kleinste reziproke Volumen, das von einem einzigen Zustand eingenommen wird:
V1 = (2π)^3/V. (2)
Von N Zuständen eingenommenes reziprokes Volumen einer Kugel
VN = 4/3 π k^3 (3)
mit der Wellenzahl k als Radius der Kugel. Damit ergibt sich die Anzahl der Zustände zu
N^3d=VN/V1=4/3π k^3⋅V/(2π)^3=V/6π^2 k^3. (4)
2 Spin-Zustände (spin-up und spin-down)->
N^3d= 2VN/V1 =V/3π^2 k^3. (5)
Wellenzahl per quadratischer Dispersionsrelation (3d):
k = (2m ε /ℏ^2)^1/2 (6)
k^3 = (2m ε /ℏ^2)^3/2. (7)
Einsetzen in (5) ->
N^3d = V/3π^2 (2m ε /ℏ^2)^3/2 = V/3π^2 (2m/ℏ^2)^3/2 ε ^3/2. (8)
Differenzieren der Zustandszahl nach der Energie:
D(ε) =3/2*(V/3π^2)*(2m/ℏ^2)^3/2*ε ^1/2 (9 a)
D(ε)=(V/2π^2)*(2m/ℏ^2)^3/2*ε ^1/2. (9 b)
Zustandsdichte D(ε) pro Volumen
g(ε) = 1/2π^2*(2m/ℏ^2)^1,5*ε ^0,5 (10 a)
g(ε) = 2/(2^0,5*Pi^2)*(m^1,5/ħ^3)*ε ^0,5 (10 b)
g(ε) = 2Pi*(2m)^1,5/h^3*ε ^0,5. (10 c)
8.11.18 Thermodynamische Herleitung der Entropie/Energie-Dichte sowie der Wärmekapazität des Schwarzkörper/Hohlraum-Strahlers
Die folgende Herleitung ist entnommen dem vortrefflichen Lehrbuch von Christoph Strunk: Moderne Thermodynamik, Bd.1 , 2. G auf Basis des hierigen Modells. Davon ausgehend folgt jeweils eine quanten-taktisch/trigonometrische Darstellung/EBG auf Basis des hierigen Modells.
Für die innere Energiedichte gilt bei konstanter Zusammensetzung
U/V = T S/V - pV/V (1 a)
u = T s - p. (1 b)
Die freie Energiedichte ergibt sich damit zu
f = u - T s = -p. (2)
Maxwell fand bereits 1873 für den Strahlungsdruck die Beziehung
p = u/3. (3)
In Verbindung mit (1) und (2) erhält man damit
u = T s - u/3 (4 a)
u(T) = 3/4 T s (4 b)
und
df/dT =-s(T) = -1/3 du/dT = -1/3 Tds/dT. (5)
Per Trennung der Variablen gem.
ds/s = 3 dT/T (6)
und Integration über T ergibt sich
s(T) = b T^3 (7).
Die Integrationskonstante b ist dabei gegeben durch
b = 4/3 a3 = 4/3*7,56573325028*10^-16 J m^-3 K^-4 (8 a)
b = 10,087644333707 *10-16 (a31) = b“* 10^-16 (a31). (8 b)
Damit ergibt sich die trigonometrische Beziehung
b“ = 10+0,087644333707 = 10+tan(5+0,00885137296614). (9 a)
Diese führt zu der Pi-basierten Darstellung
b“ = 10 + tan(5+0,1*tan( 5,058280620936)) (9 b)
b“ = 10 + tan(5+0,1*tan(5+0,1* log(12/Pii6´))) (9 c)
Pii6´= 30*sin(1,0004*6) (10) (4 = periodisch)
sowie zu der EB-G
x-tan(5+0,1*x/cos(8,037`)). (11)
Die Wärmekapazität pro Volumen erhält man danach gem.
cv = T ds/dT = 3 s(T) = 3 b T^3 (12)
mit
3b = 4*a3 = 4*7,56573325028*10^-16 J m^-3 K^-4 (13 a)
3b = 3,026293300112*10^-15 a31 = 3b“ *10^-s5 a31. (13 b)
Der Vorfaktor 3b“ kann wie folgt feinapproximativ auf den Einheitsbogen-Winkel zurückgeführt werden
3b“ = 3,026293300112 = 1/sin(57,29531620934804-38) (14 a)
3b“ = 1/(180/Pi-0,001*sin27,6005). (14 b)
Einsetzen von s in (4) führt schließlich zu der Gesamtenergie-Dichte
u (T) = 3b/4 T^4 =7,56573325028*4/3 *10^-16*a31 * T^4 (15 a)
3b/4 = 1,0087644333707 *10^-s5 a31 = 3b”/4*10^-s5 a31. (15 b)
Damit ergibt sich für den VF die trigonometrische Gleichung
3b”/4 =1+0,0087644333707 = 1+0,1*tan 5,00885137296614, (16)
womit man die EB-G
0,087644333706= tan(5,00885137296614) (17 a)
x-tan(5+0,1*x/cos(8,037`)) (17 b)
erhält.
6.04.19 Beziehung zwischen den VF/Anfangs-Strings der Strahlungs-Konstante und der Proton-Geschwindigkeit
Die sog. Strahlungs-Konstante ist s5=15-basiert gegeben durch
a = 8*Pi^5/15*kB^4/(c*h)^3 = a“ *10^(-4*23+3*26)*a1 (1 a)
a = a”* 10^-15* a1 = a”*10^-s5 *a1 (1 b)
mit der SI-Einheits-Größe
a1 = 1 (J K^-4 m^-3) (2)
und dem VF/Anfangs - String
a” = 10*8*Pi^5/15*kB”^4/(ca”*ha”)^3 (3 a)
a” = 10*8*Pi^5/15*1,380649”^4/(2,99792458*6,62607015)^3 (3 b)
= 10*593,03622434366/7838,450084421222 = 0,75657332502800. (3 c)
Mit der Stefan/Boltzmann-Konstante ist diese über die Beziehung
σ = c/4 *a = 8*Pi^5/15*kB^4/(c^2*h^3) = 5,67037441918*10^-8 W K^-4 m^-2 (4)
verknüpft. Der Vergleich mit dem VF/Anfangs-String der Proton-Geschwindigkeit
vPr“ = 0,7564370268 (5)
zeigt eine weitgehende Übereinstimmung beider VF/Anfangs-Strings.
Danach können beide VF gem.
0,75657332502800 = 0,7564370268/cos(1+tan5,00 5´) (6)
trigonometrisch in einfacher Weise zueinander in Beziehung gesetzt werden.
7.04.19 EDD-Basierung des VF der Strahlungs-Konstante per EDD-Volumen
Formuliert man die Strahlungs-Konstante gem.
a16 = a16“ *a1 *10^-16 = 7,5657332502800*a1*10^-16 (1)
so kann der VF gem.
a16“ = 7,5657332502800 = VEDD´ (2)
mit
VEDD´ = 5*sin54´*(tan54´)^2 = 5* cos36´*(cot36´)^2 (3)
VEDD´ = 10*sin50´ (4)
mit
als real-variiertes EDD-Volumen VEDD´ verstanden werden. Aus (3 a) folgt
VEDD´/4 = 5/4 *sin54´*(tan54´)^2 = 1´ * (tan54´)^2 = 1´ * (t´cot36´)^2 (5)
Damit erhält man in Verbindung mit (2) die vorzüglich einfache Beziehung
a16“ = 4*(tan54´)^2 = 4*cot(36´)^2 (6)
mit
36´ = 36,02154872761 = (1+(6-1/70,2132278210558)/10^4))*36. (7)
Daraus folgt die EB-G
36+x = (1+(6-1/(70+10*x´)/10^4))*36. (8 a)
x = 36*(6-1/(70+10*x´))/10^4, (8 b)
die mit x = x´ in die quadratische Gleichung
x^2+(7-36*6/10^4)*x-36/10^5*(6*70-1) (9)
überführt werden kann. Die gesamte Energie eines Strahl-Körpers mit dem Volumen V bei der Temperatur T ist damit gegeben durch
E = a*T^4*V= a16“*a1*10^-16*T^4*V (10 a)
E = VEDD´*a1*T^4*V *10^-16 = VEDD´ *T^4*V *10^-16 *(J K-^4 m^-3). (10 b)
Danach wird die Strahlungs-Energie im tiefsten Grunde primär vom real-variieten EDD-Volumen bestimmt.
8.04.19
Der VF der Strahlungsleistung eines idealen Schwarzkörper-Strahlers bei Norm-Temperatur T0 = 273,15 K ist mit
σ“ = 0,299792458/4*7,56573325028 = 0,567037441918 (1)
gegeben durch
P“ = 0,567037441918*2,7315^4 = 31+0,5657822310825 ) (2 a)
P“ = 0,567037441918 *(50+5,66789756301) = 31+0,5657822310825. (2 b)
Daraus folgt, wie hier bereits gezeigt wurde, die EB-G
P“ = x *(50+10´*x) = 31+1“*x, (2 b)
die zu der quadratische Gleichung
X^2+(50-1“) /10´x-31/10´ (3)
führt. Mit
10´= 10-1/229 =9,995633187773 (4)
1“ = 1-1/452 = 0,9977876106195 (5)
erhält man ein innerhalb der Fehler-Toleranz mit (1) übereinstimmendes s“. Für den VF der Norm-Temperatur ergibt sich damit der Ausdruck
T0“ = (50 + 10´*s“ )^0,25 (6 a)
T0“ = (50 + 0,567037441918*(10-1/229))^0,25 = 2,7315, (6 b)
der mit
σ“ = cb“/4*VEDDa16“ (7)
übergeht in
T0“ = (50 + 10´*cb“/4*VEDDa16“)^0,25 (8 a)
T0“ = (50 + (2,5-1/916)*0,299792458*7,56573325028)^0,25 = 2,7315. (8 b)
Danach wird das Volumen des 4-dimensionalen T0“^4-HyperWürfels über 50 hinaus wiederum durch den VF der Stefan/Boltzmann -Konstante bestimmt. Für den VF der Strahlungsleistung folgt daraus
P“ = cb“/4*VEDDa16“ *(50 + 10´*cb“/4*VEDDa16“), (9)
wonach selbiger ausschließlich durch das VF-Produkt cb“* VEDDa16“ = cb“ *a16“ festgelegt ist.
9.04.19 Eruierung des VF der Strahlungs-Konstante per Einheitsbogen-Winkel
Das hierige QTTRGG-Modell beinhaltet die Annahme, dass die VF/Anfangs-Strings in Form verschiedener geometrischer Gebilde wirksam werden können. Nimmt man so den VF der Strahlungs-Konstante als Winkel an, so ergibt sich bezogen auf den Einheitsbogen-Winkel
a16"^2 = 7,56573325028^2 = 57,24031961439 = 180/Pi´ (1)
mit
Pi´= Pie3´= 3,1446365291562941 = 60*tan3,000161676404 (2)
und
Pie3´= Pi*1,00096889568513 = Pi*(1+0,001*x), ( 3)
womit man zu
a16“ = (3/tan3,000161676404)^0,5 (4)
sowie zu der EB-G
x-tan(44+x´/10) (5)
mit
x´= x-0,01*(1+x) (5)
gelangt.
10.04.19 VF der Wienschen Verschiebungs-Konstante per grundwinkel-basierter EB-G
Ein vorzüglich einfache Darstellung des VF der Wienschen Verschiebungs-Konstante
gelingt mit der Untergliederung
b“ = 2,897771955 =1+1,897771955 = 1+(tan(54+(tantan(54+0,00089715768))))^2 , (1 a)
womit man zu der vortrefflich einfachen grundwinkel-basierten EB-G
(tan(54+(tantan(54+x/1000))))^2 - x (2)
gelangt.
11.04.19 Gleichzeitige Eruiierung von fmax* = fmax“/T und k B“/ha“ per EB-G
Der auf die jeweilige Temperatur bezogene VF der Frequenz der maximalen Photonenrate und der Temperatur
fmax*= fmax“/T = 1,59362426004 * k B“/ha“ = 3,3205741732 =0,1/0,301152736798 (47 a)
kann in Form von
fmax* = 0,1/log(2+0,0005653237) = 0,1/log(2+0,001*(1-0,4346763) ) (47 b)
mit reziprokem log2´ feinapproximativ dargestellt werden. Die FibonacciZahlen-Darstellung
k B“/ha“ = 1,380649/6,62607015 = 0,20836619 = Log((1,00020783*21)/13) (48 a)
führt zu der EB-G
log(1+x´/1000)*21/13 - x 0,20836620485 (49)
mit
x´ = x*cos4´. (49)
Zusammen mit der Grundsummen-Basierung Xfmax/T = 10 = s4 eröffnet sich damit per FibonacciZahlen-Darstellung von fmax*= fmax“/T eine von den Natur-Konstanten k B und h unabhängige Modell-Darstellung von fmax/T. Eine gleichzeitige Bestimmung von fmax*= fmax“/T und k B“/ha“ gelingt wie folgt. Per Umformung von (48 a) zu
k B“/ha“ = 1,380649/6,62607015 = 0,20836619123 = log ((21+0,004364370126309263)/13) (48 b)
erhält man in Verbindung mit (47) die Gleichung
fmax* = 0,1/log(2+0,001*(1-0,4346763) ) = 1,59362426004 *log((21+0,00436437)/13), (50)
die zu der EB-G
fmax* = 0,1/log(2+0,001*(1-x) ) = 1,59362426004*log((21+x´)/13) (51)
mit
x´ = 1,004´*x (52)
führt. Diese liefert sowohl fmax* als auch k B“/ha“ entsprechend der derzeit von k B vorgegebenen Genauigkeit.
12.04.19 QTRGG-Darstellungen von h, kB sowie h*kB und kB/h
Während die Planck-Konstante die elektromagnetische Energie mit der korrespondierenden Frequenz verbindet, stellt die Boltzmann-Konstante den Zusammenhang von thermischer Energie und Temperatur her. Die hier eingeführte QTTRGG-Darstellung der Planck-Konstante lautet
h = h“*10^-AXK = 4Pi*tan36´^2 *10^-34 J s = 6,62607015*10-34 J s, (1)
h” = 6,62607015 = 4Pi*tan36´^2 (2)
36´= 90-54´ = 36-0,01492719418 = 36-0,1*(Pie5´-3) (3)
Pie5´ = 36*cot 85,0005053409 -3 = 36*cot(85*(1+4´/10^9)) (4)
wonach der ganzzahlige Betrag-Exponent sich darstellt als Oberfläche AXK = 34 der postulierten Exponential-Kugel und der Vorfaktor (VF) als Oberfläche einer Kugel mit dem grundwinkel-basierten Radius rK = tan36´ = cot54´ veranschaulicht werden kann. Im Unterschied zu der üblichen Volumen-Vorstellung wird das sog. Wirkungs-Quantum hier mit einer Oberflächen-Wirkung verbunden. Die Veranschaulichung der Boltzmann-Konstante
kB = kB“ 10^(-23) J K^-1 = 1,380649 *10^-23 J K-1 (5)
gelingt per Q-TTRGG gem.
kB“ = Vm/NA“ *p0“/T0“ = ri^1´^3 = (cos36´/tan36´)^3 = 1,380649 (6)
mit dem VF als Volumen eines Elementar-Würfels mit einem geringfügig real-variierten Inkugel-Radius des EDD
ri1´ = 1,380649^1/3 = 1,113510784421 = 1,000005´*ri1 = cos36´/tan36´ (7)
36´ =36,000101474273 (8)
als Kantenlänge. Damit erhält man das Produkt
kB * h = 1,380649*6,62607015*10^-(23+34) J^2 s K^-1 = 9,1482771265 *10^-57 J^2 s K^-1 (9)
mit dem ganzzahligen EinheitsBogen-Winkel 57 als ganzzahligen Betrag-Exponent. Da der Betrag-Exponent von h durch die 34er-Oberfläche der postulierten Exponentialkugel definitiv festgelegt ist ergibt sich XkB = 34-57 = -23. Die weitere Betrachtung beschränkt sich nunmehr auf die VF. Die Verknüpfung von (2) und (6) führt zu den QTTRGG-Darstellungen
h“ * kB“ = 9,1482771265 = 4*Pi*tan36´ = 4*Pi*0,85322726324^2 (10)
36´ = 36,05449693495 = 36+0,1*cos57´ (11)
57´ = 56,977430894637 =57/(1+0,001*(sin36´+cos36´-1)) (12)
und
kB“/h“ = 0,20836619123 = sin54´^2/Pi (13)
54´= 54,0056148585 = 54+0,01*(1-sin26,009´). (14)
Damit erhält man
h“ * kB * kB“/h“ = kB“^2 = 2* sin(2*x) (15)
kB“ = (2*sin(2*36´))^0,5 (16 )
36´ =36,19101913337435 = (1+9´/10^10)* 36, 1910 (17)
und
h” = 2*Pi*((tan36´)^0,5/cos36´) (18)
36´ = 36,0299201564 = 36,03-0,0001*cos(37,019´). (19)
13.04.19 Eruiierung der Exponenten der Boltzmann- und der Planck-Konstante per Verknüpfung von Exponenten-Summe und Anfangs-Strings
Ähnlich wie die ganzzahlige Exponentensumme Xk+Xh = -23-34 =-57 kann auch die gebrochene Exponenten-Summe gem.
Xk´+ Xh´ = -22,8599167173 - 33,1787439706 =-56,0386606879 (1)
-(Xk+ Xh)´ = 56´ = 90 -34´ (2)
34´ = 33,9613393121 = Pi/ 3,13802041438*34 (3)
Pi´= 3,13802041438 = Pie5´= 36*sin5,000660900 (4)
per 56´;34´ grundwinkel-basiert formuliert werden. Die Exponenten-Summe steht überdies gem.
Xk´+Xh´= -56,03866068789 = -400,03817449018 * log1,380649´ (5 a)
Xk´+Xh = 400,03817449018*(Xk+23) (5 b)
in einem feinapproximativen Zusammenhang mit dem Anfangs-String der Boltzmann-Konstante und gem.
-56,0386606879 = -1/0,017844823337 = 10,0165727148/(-33,17874397057+33) (6 a)
(Xk´+Xh´) = -1/(0,017844823337 ) = 10,0165727148/(Xh+33) (6 b)
auch mit dem Anfangs-String der Planck-Konstante. Damit erhält man für beide Exponenten die einfache quadratische Gleichung
x^2+56,0386606879*x+758,4633239525. (7 )
14.04.19
Der Exponent der Planck-Konstante kann gem.
Xh´ + 33 = -0,1787439706 =- 4,1111113238/23 = -4,1111111111/23 *(1 + 517/10^10) (8)
in Verbindung mit dem ganzzahligen Exponent 23 der Boltzmann -Konstante einfach dargestellt werden.
15.04.19
Die Summe der gebrochenen Exponenten ist gegeben durch
Xk´+ Xh´ = Xk +Xh + logk“ + logh“ = Xk +Xh +xk + xh (9 a)
Xk´+ Xh´ = -23 - 34 + 0,14008328268 + 0,821256029433 (9 b)
Xk´+ Xh´ = -57 + 0,961339312113 = -56,038660687887 (9 c)
Xk´+ Xh´ = 90-34´ = -57 +1´ =56´. (9 d)
Die Abweichung der Summe der Anfangs-Strings
xk + xh = 1 - 0,038660687887 = 1´ (10 )
von 1 kann gem.
0,38660687887 = ri1´^4 /4 = V4DW/4 (11)
vorteilhaft als ¼-Volumen eines 4D-Hyperwürfels mit einem real-variierten Inkugel-Radius des EDD
ri1´ = 1,115147697763 = ri1 + 1/(613-0,0045) = sin54´*tan54´ +1/(613-0,0045) ()
feinapproximativ dargestellt werden. Eine feinapproximative Darstellung des Produkts der gebrochenen Exponenten
Xk´ * Xh´ = 23*33 - 23*(1-xh) + 33*xk (12 a)
Xk´ * Xh´ = (57-34)*34 - 23*0,178743970567 + 33*0,14008328268 (12 b)
Xk´ * Xh´ = 759 - (4,1+ 2,12´/10^7) + 4,62+ 1/1900,75´ = 758,46332395244 (12 c)
gelingt gem.
758 +x - 759*cos(1/x´) (13)
vorzüglich per EB-G mit
x´ = x+0,0007653501007 = x + ´0,0001* VEDD´ (14)
und
VEDD´ = 7,653501007 = VEDD -1/(104-1/36´) = 7,663118960625-1/(104-1/36´). (15)
(Fettdruck = periodisch)
16.04.19 QTTRGG-Darstellung und Verhältnis von Planck- und der Boltzmann-Konstante
Mit der Exponenten-Summe der Anfangs-Strings
xh + xk = 1-V4D/40 (16)
und deren Differenz
xh - xk = cos47,064646279´= cos47´ (17)
ergeben sich die einfachen Darstellungen
xh = (1-V4D/40 + cos47´)/2 (18)
und
xk = (1-V4D/40 -cos47´ )/2. (19)
Danach sind die ganzzahligen Exponenten der Planck- und der Boltzmann-Konstante
gem.
Xh + Xk = -34 - 23 = -57 ( 20)
durch die 34er-Oberfläche der postulierten Exponential-Kugel und den ganzzahligen Einheitsbogen-Winkel 57 festgelegt. Die Exponenten der Anfangs-Strings werden dahingegen von einem gegenläufig durch die Abschirmung (cos47´) betroffenem ¼-Volumen V4D/40 bestimmt.
Schlussendlich erhält man damit die vortrefflichen QTTRGG-Darstellungen
Xh´ = Xh + xh = -34 + (1-V4D/40 + cos47´ )/2 (21)
und
Xk´ = Xk + xk = (34-57) + xk = -23 + (1-V4D/40 - cos47´ )/2, (22)
die bestechend anschaulich die Natur und das Verhältnis von Planck- und Boltzmann-Konstante offenbaren.